Физика / Физика / Механика. Лекции / Механика. Пособие
.pdf5.Шарик массой m=100 г, привязанный к концу нити длиной l=1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n1=1с-1. Нить укорачивается, и шарик приближается к оси вращения до
расстояния l2=0,5 м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая н ить? Трением шарика о плоскость пренебречь.
Отв. n2=4 с-1, A=5,92 Дж.
6.Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг ·м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы M=20Н·м. Вращение продолжалось в течение t=10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретённую махов иком.
Отв. T=500 Дж.
7.Пуля массой m=10 г летит со скоростью V=800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000 c-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм, определить полную кинетическую энергию Т пули.
Отв. T=3,21 кДж.
8.Обруч и диск имеют одинаковую массу m1=m2=m и катятся без скольжения так, что линейные скорости их центров V1 и V2 одинаковы. Кинетическая энергия обруча W1=40 Дж. Найти кинетическую энергию диска W2.
Отв. W2=30 Дж.
9.Тонкий прямой стержень длиной l=1 м прикреплён к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ =60˚ от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость V нижнего конца стержня в момент прохожд ения через положение равновесия.
Отв. V=3,84м/с.
10.Человек массой m=60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R=1 м и массой M=120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10 мин-1, переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека –
111
точечной массой, определите работу A, совершаемую человеком при переходе от края платформы к её центру.
Отв. A=65,8 Дж.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1.Составить конспект ответов на вопросы.
2.Решить следующие задачи:
1.Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n1=10 с-1.
Радиус R колеса равен 20 см, его масса m=3 кг. Определить частоту вращения скамьи n2, если человек повернёт стержень на угол 180 ˚ ? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг· м2. Массу колеса можно считать равномерно распределённой по ободу.
Отв. n2=0,4 с-1.
2.Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R=30 см находится в
состоянии покоя. Какую работу A1 нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с-1? Какую работу А2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньш ую толщину, но вдвое больше радиус?
Отв. A 2nmR2 , |
A1 7,11 кДж, A2 28,4 кДж. |
3.Шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, высота
которой h=0,5 м, угол наклона α. Найти линейную скорость V1 центра масс шара в конце спуска, если в начале движения его скорость V0=0. Сравнить V1 со скоростью тела V, соскальзывающего с этой же плоскости без трения.
Отв. V1 2,64 м/с; V 3,13 м/с.
112
4.Какова скорость движения обруча у подножия н аклонной плоскости, высота которой h=0,5 м, если обруч катился без скольжения и на вершине
имел скорость V0=1 м/с. Отв. V =2,43 м/с.
113
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Практическое занятие 8
I.Кинематика гармонических колебаний. Сложение колебаний. II. Динамика гармонических колебаний. Маятники.
III. Волны.
1.Записать уравнение гармонических колебаний точки. Изобразить графически.
2.Дать понятие амплитуды А и периода колебаний Т, показать на графике.
3.Что называется частотой ν гармонических колебаний, как она связана с периодом T?
4.Выразить скорость V и ускорение точки a, совершающей гармонические колебания.
5.Что означает ω в уравнении гармонического колебания?
6.Чему равна полная энергия E гармонического колебания точки?
7.Записать формулу периода колебаний математического и физического маятников.
8.Какая величина называется приведённой длиной физического маятника?
9.Записать уравнение плоской бегущей волны.
10.Что называется длиной волны λ? Как связаны длина волны λ с частотой ν гармонического колебания, периодом Т?
Литература: Т.Гл.18,§140,141.С.255,257, 2000. Т.Гл.19,§153,154.С.284, 2000.
114
Примеры решения задач
Задача 1.
Точка совершает гармонические колебания с часто той = 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение xmax = 1 мм.
Написать уравнение колебаний точки и начертить их график. |
|
|
|||||
Дано: |
|
Си: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||||
10 Гц |
|
|
|
|
Уравнение колебаний точки можно записать в |
||
t 0 |
|
|
|
|
виде |
|
|
|
|
|
|
x ASin( t 1 ) |
(1) |
|
|
xmax 10 3 м |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
или |
|
|
x f (t) -? |
|
|
|
|
x ACos( t 2 ) , |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
||
где А - амплитуда колебаний; - циклическая частота; t |
– время; |
1 , 2 - |
|||||
начальные фазы, соответствующие форме записи (1) или (2). |
|
|
|||||
По определению, амплитуда колебаний |
|
|
|||||
А = xmax . |
(3) |
|
|
||||
Циклическая частота связана с частотой соотношением |
|
|
|||||
=2 . |
(4) |
|
|
||||
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использо вать |
|||||||
формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия: в момент |
t 0 |
||||||
|
xmax ASin 1 , |
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
1 arcSin xmaxA arcSin1
или
1 (2k 1) 2 ;(k 0,1,2,...) .
Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять
1 |
|
. |
(5) |
|
|
2 |
|
В случае второй формы записи получаем
2 arcCos xmaxA arcCos1
или
115
|
2 2 k;(k 0,1,2,3,...). |
|
|
|
|
|
||||
По тем же соображениям, что и в первом случае, находим |
|
|
||||||||
|
2 0 . |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
С учетом равенств (3)-(6) уравнения колебаний примут вид: |
|
|
||||||||
|
x xmax Sin(2 t |
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x xmaxCos2 t , где |
|
|
|
|
|
|
|||
|
xmax 10 3 м; 10 Гц |
|
|
|
|
|
||||
|
График соответствующего колебания приведен на рис.1. |
|
||||||||
|
2 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
-3 |
- |
0 |
|
|
3 |
3 |
2 |
5 |
9 |
|
-1,5 |
1,5 |
|
4,5 |
6 |
7,5 |
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с |
|||||||||
периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж, |
||||||||||
Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax |
||||||||||
действующей на частицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
116
Дано: |
|
|
Си: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m 0,01кг |
|
|
|
|
|
Для |
определения амплитуды |
колебаний |
||
T 2с |
|
|
|
|
|
воспользуемся выражением |
полной |
энергии |
||
|
|
|
|
|
частицы: |
|
|
|
|
|
E 0,1 10 3 Дж |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
E 1 m 2 |
A2 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A, Fmax -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив сюда выражение |
и выразив |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
амплитуду, получим: |
|
|
|
T |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
A |
|
2E |
|
|
(1) |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
A |
2 |
|
2 10 |
4 |
0,045 |
(м). |
2 3.14 |
|
10 2 |
||||
|
|
|
|
|||
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на неё, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F kx , где k – коэффициент квазиупругой силы; x- смещение колеблющейся точки. Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении xmax равном амплитуде, т.е.
Fmax kA . |
(2) |
Коэффициент k выразим через период колебаний: |
|
k m 2 m 4 2 . |
(3) |
T 2 |
|
Подставим в уравнение (2) выражение для |
k из формулы (3) и значение |
амплитуды А из формулы (1), после сокращений и упрощений подучим:
Fmax 2 2mE .
T
Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
|
|
2 3.14 |
|
4.44 10 3 |
4.44 |
|
F |
2 10 2 10 4 |
(мН) |
||||
max |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A=0,045 м; Fmax=4,44 мН.
Задача 3.
Материальная точка массой 20 г совершает гармо нические колебания с периодом 9 с. Начальная фаза колебаний 10 . Через сколько времени от начала движения смещение точки достигнет половины амплитуды? Найти амплитуду
117
A, максимальную скорость Vmax и ускорение точки amax, если полная энергия E ее равна 10-2 Дж.
|
Дано: |
|
|
|
|
Си: |
|
Решение: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m 20 г |
|
|
|
|
|
|
0,02 кг |
|
Уравнение |
гармонического |
|||
T 9 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебательного движения |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=A sin( t+ 0), |
|
|||
0 |
=10o=10 |
2 |
360 |
|
|
1/18 |
|
|
|||||
|
|
|
где х - смещение точки относительно |
||||||||||
x 0,5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положения |
равновесия; |
А-амплитуда |
||
E 10 2 Дж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебания; =2 / T - циклическая |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота; Т - |
период колебания; t- время |
|
t , |
A, Vmax , |
amax -? |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
колебания. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (1) можно определить время колебания t: |
|
|||||||||||
|
х =ASin(2 t/T + 0). |
|
|
|
|
||||||||
|
х/A =Sin(2 t/T + 0) , |
|
|
|
|
||||||||
|
2 t/T+ 0 =arcSin x/A , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(arcSin |
x |
0 )T |
|
|
|
|
||||
|
t |
A |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя числовые значения в формулу (2), получим:
|
(arcSin0.5 |
|
|
|
) 9 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
18 |
|
6 |
18 |
9 0.5 (с). |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Амплитуду колебания можно определить из формулы полной энергии Е колеблющейся точки:
E mA2 2 |
, |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
T |
|
|
. |
|
A |
|
2E |
|
2E |
(4) |
||||
|
|
m |
2 |
||||||
|
|
|
|
m |
|
||||
Подставляя в формулу (4) числовые значения в единицах СИ, получим:
A= |
9 |
|
2 10 |
2 |
1.43 |
(м) . |
||
2 |
2 |
10 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Зная амплитуду, можно вычислить максимальную скорость Vmax точки, которая определяется как первая производная смещения x по времени :
V dxdt A Сos( t 0 ) .
118
Полагая Сos( t 0 ) 1, получаем значение максимальной скорости :
Vmax A A |
2 |
. |
(5) |
||
|
|||||
|
|
|
T |
|
|
Определим числовое значение максимальной скорости: |
|||||
Vmax 1,43 |
2 |
1 (м/с). |
|
||
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
|
Ускорение amax точки определяется, как первая производная скорости по времени, т.е.
a dV A 2 Sin( t 0 ) . |
(6) |
|||
dt |
|
|
|
|
Считаем при максимальном ускорении: |
|
|||
Sin( t 0 ) =-1, это дает |
|
|||
amax A |
2 |
|
2 2 |
|
|
A |
. |
|
|
|
|
|
t |
|
Подставляя все числовые значения в СИ получаем:
amax 1,43 4 2 6.69 10 1 (м/с2) . 81
Ответ: t =0,5c; A =1,43 м; Vmax =1м/c; amax = 6.69 10 1 м/с2.
Задача 4.
Складываются два колебания одинакового направле ния, выраженные уравнениями:
x1 A1Сos 2T (t 1 ); x2 A2Сos 2T (t 2 ) ,
где А1= 3 см; А2= 2 см; 1= 1/6 с; 1=1/3 с; Т = 2 с.
Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и на писать уравнение результирующего колебания.
Решение:
Для построения векторной диаграммы сложен ия двух колебаний одного направления надо фиксировать какой -либо момент времени. Обычно
119
векторную диаграмму строят для момента времени t=0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме x ACos( t ) , получим:
x1 A1Сos(2T t 2T 1 ),
x2 A2Сos(2T t 2T 2 ) ;
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
|
2 |
. |
(1) |
|
|||
|
T |
|
|
Начальные фазы 1 первого и 2 второго колебаний соответственно равны:
|
|
2 |
|
|
, |
(2) |
1 |
|
T |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
2 . |
(3) |
||
|
|
T |
|
|
|
|
Подставим числовые значения величин в формулы (1), (2) и (3) и произведем вычисления:
2 |
|
2 c 1 3.14(c 1 ) ; |
|
у |
A |
|||
|
|
|||||||
|
|
T |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
рад 30 ; |
|
A2 |
|
2 |
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
A1Sin 1 A2Sin 2 |
||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
рад 60 . |
|
2 |
A1 |
||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
На рис.2 изобразим векторы |
1 |
|
х |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
A1 и A2 . Для этого отложим |
A1Cos 1 A2Cos 2 |
|||||||
|
|
|
||||||
отрезки длиной |
|
|
|
|
Рис.2 |
|||
А1 =3 см и А2= 2 см под углами
1 30 , 2 60 к оси x. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой А , равной геометрической сумме складываемых
амплитуд A1 и A2 : A = A1 + A2 . Согласно теореме косинусов,
120