5. Интерпритации уравнения Бернулли

Существует две интерпретации (пояснения) уравнения Бернулли энергетическая и геометрическая (гидравлическая).

Энергетическая интерпретация.

Удельной энергиейназывается энергия отнесённая к весу частицы жидкости. Энергия положения частицы жидкости равнаdm g z, а весdm g z. тогда

- удельная энергия положения.

Энергия давления частицы жидкости равна pdV, тогда

- удельная энергия давления.

Кинетическая энергия частицы жидкости равна dm v²/2, тогда

- удельная кинетическая энергия.

- удельная потенциальная энергия.

- полная удельная энергия.

- потеря полной удельной энергии.

Тогда в сокращенном виде уравнение можно записать

.

Геометрическая интерпретация.

Рис.3.24 – геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли имеет размерность высоты. Рассмотрим трубу, из которой выведены две трубки (Рис. 3.11). Первая трубка называется пьезометром, а вторая (изогнутая навстречу потоку) гидродинамической трубкой или трубкой Пито. Если на оси трубы давление равноp, то уровень жидкости в пьезометре поднимется на высотуh_p=p/(g), которая называется пьезометрической высотой. Уровень жидкости в гидродинамической трубке выше уровня жидкости в пьезометре на величину:

- скоростной напор.

Расстояние от плоскости сравнения до оси трубыzназывается геометрическим напором. Остальные слагаемые в Уравнении Бернулли:

- пьезометрический напор.

- полный гидродинамический напор.

- потеря напора.

Поэтому из уравнения Бернулли следует, что для идеальной жидкости полный гидродинамический напор в любом поперечном сечении одинаков и уровень жидкости в гидродинамической трубке будет стоять на одном уровне. Графическое представление уравнения Бернулли называется диаграммой Бернулли и приведено на

Рис. 3.25- Диаграмма Бернулли

6. Примеры и задачи

Пример 3.10.

Идеальный газ движется в сужающейся трубе. Во сколько раз скорость газа в узком сечении больше, чем в широком, если: D₁= 1,5 D₂, P₁= 1,2 P₂. Движение газа изотермическое.

Решение:

При установившемся движении сжимаемой жидкости сохраняется массовый расход:

.

Найдем отношение скорости в узком (втором) поперечном сечении к скорости в широком поперечном сечении:

.

Так, как движение изотермическое, то плотности газа зависят от давления линейно:

,

Откуда

Ответ: скорость газа во втором сечении в 1,8 раза больше, чем в первом.

Пример 3.11.

Вводо-водяном теплообменнике жидкость движется в межтрубном пространстве.Внитренний диаметр корпусаD= 0,2 м, а внешний диаметр каждой из четырёх (n = 4) латунных трубокd= 0,05 м. Определить эквивалентный диаметр для потока и скорость движения жидкости в поперечном сечении (затемненная область), если за 100 секунд прокачивается 1,57 м³воды.

Решение:

Площадь поперечного сечения потока равна разности плошадей корпуса и всех латунных трубок:

.

Смоченный периметр равен сумме периметра корпуса и периметра всех латунных трубок

.

Тогда эквивалентный диаметр равен четырём гидравлическим радиусам:

.

Скороть воды в межтрубном пространстве равна:

.

Ответ: v = 0,665 м/c; d_э= 0,0749 м.

Пример 3.12.

По трубе диаметромd₁= 0,2 м движется вода. В трех точках производится отбор воды с расходамиQ₁= 0,01 м³/с,Q₂= 0,03 м³/с,Q₃= 0,02 м³/с. Определить скорости на участках трубопровода.

Решение:

Расход на участке от входа в трубопровод до первой точки отбора равен сумме расходов которые отбираются после этого участка:

Q_вх-1 = Q₁+ Q₂+ Q₃= 0,01 + 0,03 +0,02 = 0,06 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

На участке между первой и второй точками отбора расход равен сумме расходов которые отбираются после этого участка:

Q_1-2 = Q₂+ Q₃= 0,03 +0,02 = 0,05 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

На участке между второй и третьей точками отбора расход равен:

Q_2-3 = Q₃= 0,02 = 0,02 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

Ответ: v_вх-1= 1,91 м/c; v_1-2= 1,59 м/c; v_2-3= 0,657 м/c.

Пример3.13.

Насос за 10 минут перекачивает 6 м³воды, по трубе диаметром 100 мм. Высота подъёма жидкостиH_г= 4 метра. Потери напора рассчитать по формулеh_1-2= 3v²/2g, гдеv– скорость в тубе.

Рассчитать показание вакуумметра.

Решение:

Выберем два поперечных сечения там, где известны давления или где одно из давлений необходимо найти – одно по свободной поверхности жидкости, а второе где стоит вакууметр. Нумеруем поперечные сечения по направлению движения жидкости в начале потока 1 – 1 в конце 2 – 2 (см. рисунок).

Выбираем плоскость сравнения 0 – 0 проходящую через центр тяжести нижнего поперечного сечения.

Находим значения z и абсолютные давления p в поперечных сечениях:

z₁= 0;p₁=p_aт;z₂= Н_г;p₂=p_aт–p_v.

Расписывают скорости в поперечных сечениях. Площадь поперечного сечения бака большая, поэтому скорость в первом поперечном сечении можно считать равным нулю, а площадь второго поперечного сечения равна площади топеречного сечения трубы, тоэтому скорость во втором сечении равно скорости в трубе:

v₁0;v₂=v.

Полученные значения z, p, v подставляют в уравнение Бернулли:

.

Упрощая полученное уравнение, найдем показание вакуумметра:

.

Найдём расход жидкости в трубе:

.

Находим скорость в трубе:

.

Находим давление:

.

Ответ: p_v= 42,2 кПа.

Пример 3.14.

Рис.3.26 - Схема

Дано:

Н₁= 4 м

Н₂= 3 м

Р_v = 60 кПа

υ_ТР= 4 м/с

h_1-z=?

Решение:

z₁= 0P₁=атм

z₂= -Н₁ P₂=атм

Задача 3.6