12. Примеры и задачи

Пример 2.1.

Плотность и объем первой жидкости равны 1000 кг/м³и 6 см³. Плотность и объем второй жидкости 800 кг/м³и 4 см³. Определить плотность смеси этих жидкостей.

Решение:

По определению плотности масса первой и второй жидкости равны:

Плотность смеси находим по определению:

Ответ: плотность смеси равна 920 кг/м³

Пример 2.2.

Проводятся гидравлические испытания водопровода длиной 5 км и диаметром 2 м. Необходимо повысить давление в нём до 4 МПа. Какой объём воды необходимо дополнительно закачать в водопровод? Коэффициенты объёмного сжатия принять равными 5 10^-101/Па.

Решение:

Из определения коэффициента объёмного сжатия жидкости следует, что изменение объёма воды равно . Объём жидкости в трубе – это объём цилиндра диаметромDи длиной ℓ. Поэтому

Ответ: необходимо закачать  31,4 м³ воды.

Пример 2.3.

Определить плотность воды при температуре 44 Сº, если при температуре 4 Сº плотность воды 1000 кг/м³. Коэффициент температурного расширения воды принять равными 4,8 10^-41/Сº.

Решение:

Обозначим величины при температуре 4 Сº индексом 1, а при температуре плотность 44 Сº индексом 2. Тогда плотность жидкости при температуре 44 Сº равна:

.

Изменение объёма воды при изменении температуры найдём из определения коэффициента температурного расширения: .

Тогда плотность воды будет равна:

.

Ответ: плотность воды при температуре 44 Сº равна 981 кг/м³.

Пример 2.4.

В баке компрессора воздух находится при давлении 0,2 МПа и температуре 20 Сº. В баке образовалось отверстие, через которое происходит истечение воздуха в атмосферу (p_ат= 0,1 МПа). Определить температуру вытекающего воздуха.

Указание: процесс истечения считать адиабатическим (k= 1,5).

Решение:

Обозначим величины в баке компрессора индексом 1, а истекающего воздуха индексом 2. Запишем уравнения состояния и уравнение процесса:

Из этих уравнений исключаем плотности:

Откуда:

.

Тогда температура воздуха при истечении равна

.

Или

Ответ: температура истекающего воздуха равна - 40 .

Пример 2.5.

Вертикальная стенка длиной ℓ=3 м (в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа), шириной b= 0,7 м и высотойН₀= 2,5 м разделяет бассейн с водой на две части. В левой части поддерживается уровень водыH₁ =2м, в правой-H₂= 0,8 м.

Рис.2.9

Найти величину опрокидывающего момента, действующего на стенку, а также определить, будет ли стенка устойчива против опрокидывания, если плотность материала стенки ρ = 2500 кг/м³.

Решение:

Найдем силу давления воды на стенку слева. Так как на поверхности давление атмосферное, то пьезометрическая плоскость совпадает с поверхностью жидкости,

.

Стенка вертикальная, поэтому расстояние от линии уреза до центра тяжести равно глубине погружения центра тяжести ℓ_c1=h_c1=H₁/2. Момент инерции поверхности относительно линии, параллельной линии уреза и проходящей через центр тяжести равен.

Тогда координата центра давления:

.

Точно также справа

kH,

M.

Опрокидывающий момент, то есть момент сил давления жидкости относительно точки О (см. рис. 2.9), равен:

Устойчивость против опрокидывания сообщает стенке момент ее силы тяжести относительно точки О, равный:

Так как M_тяж>M_опр, то стенка устойчива.

Пример 2.6.

Рис. 2.10

Определить давление жидкости на плоские боковые стенки цилиндрического резервуара, если его диаметрD=3 м (рис. 1).

Решение:

Для этого сначала найдем силу давления Р (для избыточного давления).

Давление в центре тяжести площади стенки p=gh= 9,81100015 = 1,4710⁴, откуда:

P=p_c=p_cd²/4 = 1,4710⁴d²/4 = 1,0310⁵Н.

Пример 2.7.

Рис.2.11

Определить усилиеU, необходимое для того, чтобы поднять клапан (рис. 2.11), если диаметр головкиD= 0,5 м, диаметр цилиндрического стволаd= 0,3 м, высота головки а = 0,25 м и глубина погружения клапанаh=1,25 м. Вес клапанаG=29,4H.

Решение. Необходимое усилиеU находим из условия предельного равновесия

,

где и- силы давления жидкости на верхнюю и нижнюю (кольцевую)

поверхности головки клапана. Вычисляем последовательно:

Искомое усилие Н.

Пример2.8.

Рис.2.12

Определить силуR давления жидкости на горизонтальное дно резервуара (внутреннее давление снизу вверх) в соответствии с рис. 3, еслиПа;d=2 м.

Решение:

Искомая сила R=pω, гдеp - гидростатическое давление в центре тяжести площади ω (в точкеМ).

По формуле:

Па,

откуда

Пример 2.9.

Определить величину и направление силы гидростатического давления воды на 1 м. ширины вальцового затвора диаметромD= 1,5 м. (рис. 2.13)

1

Рис.2.13

Fl y_д

0

Решение:

Горизонтальная составляющая

Вертикальная составляющая:

Суммарная сила давления:

Составляющая P_xпроходит на расстоянииy_д от свободной поверхности

Составляющая P_zпроходит на расстоянииl= 0,4244rот линии 1-1, равном м.

Равнодействующая Pприложена в точке 0 под угломк горизонту и проходит через центр круга.

Задача2.1

Стальная труба с внутренним диаметром D= 600 мм. работает под давлением р = 3 МПа. Найти : а) необходимую толщину стенок трубы , если допустимое напряжение для сталиМПа ; б) максимально допустимое давление при толщине стенки трубымм. Ответ: а) 6 мм.; б) 2 МПа (20,4 кгс/см²).3. Определить величину и направление силы давления воды на 1 м. ширины затвора (рис.3), если: а)R= 1 м.; Н = 2 м.; б)R= 2 м.; Н = 2,5 м.. Ответ: а) 22,9 кН ( 2,33 тс );; б) 50,1 кН (5,12 тс);.

Рис. 3

Задача 2.2

Найти силу давления воды на дно сосуда диаметром D= 1 м , если глубина H=0,7 м,вес поршняG= 300 Н,d=0,5 м.

Ответ:6,59 кН.

Задача 2.3

Наклонный прямоугольный щит плотины шарнирно закреплен на оси О. При каком уровне воды Нщит опрокинется, если угол наклона щита a=60°, а расстояние от его нижней кромки до оси шарнира d=1,3 м. Вес щита не учитывать.

Ответ:Н=3,38м.

Задача 2.4

Определить силу давления жидкости на торцевую плоскую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром d=2,4 м, заполненной бензином плотностью r=760кг/м³, если уровень бензина в горловине находится на расстоянии H=2,7 м от дна. Цистерна герметически закрыта и избыточное давление на поверхности жидкости составляет 40 кПа. Найти также положение центра тяжести стенки..

Ответ:P=231 кН, Dl= 0,052 м.

Задача 2.5

Резервуар заполнен нефтью плотностью ρ=850 кг/м³До высоты H=4 м . Избыточное давление на поверхности pн= 14,7 кПа. Определить реакции шарнира A и стяжного болтаВкрышки люка, если диаметр патрубкаd=1м и его центр расположен на расстояниях H=1,5 м от дна резервуара,а=0,7м иb=0,8 м. Вес крышки не учитывать.

Ответ:ra = 14.7кН, rB= 13,4 кН.