3. Параметрический синтез типового закона управления объектом на основе методологии расширенного d-разбиения

Основная задача данного раздела - синтез системы автоматического управления с заданными показателями качества на основе типового регулятора с использованием частотного аппарата параметрического синтеза, базирующегося на преобразовании допустимой области корневой плоскости в область выбора допустимых значений настроечных параметров закона управления.

1. Исходные данные

В качестве объекта управления системы автоматического управления возьмем канал u₁-y₁.

Исходная передаточная функция ОУ, представленная в канонической последовательно-структурированной форме, имеет вид:

Параметры передаточной функции ОУ:

• коэффициент передачи К = 22.4718;

• порядок астатизма  = -1;

• полином числителя М(р) = .

• полином знаменателя

N(р)=.

Технологические требования, предъявляемые к синтезируемой системе:

• время регулирования t_р не более 15 с;

• условная степень устойчивости  = 2,5;

• степень затухания колебаний  не менее 0,75.

3.2 Построение параметрических областей заданного качества в среде MathCAD с использованием САПР-файла «MPS-PID»

Все расчёты проводятся с помощью программного модуля Synt PID-ZU-astat.mcd, который представляет собой MathCAD-файл (результаты расчетов представлены в файле Synt PID-ZU-astat.mcd).

На основе параметров передаточной функции ОУ построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) статической части объекта управления (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – ЛАЧХ статической части объекта управления

Построение графика ЛАЧХ необходимо для уточнения параметров расчёта частотного диапазона варьирования частоты при параметрическом синтезе.

Для изменения управляющего воздействия подаваемого на объект управления воспользуемся ПИД-регулятором.

Такой регулятор является астатическим и имеет три параметра настройки: коэффициент усиления k_p, время дифференцирования T_д и время интегрирования (или изодрома) T_и. Передаточная функция ПИД-регулятора обычно имеет вид:

.

При использовании метода МП-разбиения удобней, осуществив переобозначения ; и , получить другое представление передаточной функции (*)

, которое используется в дальнейших расчётах. Здесь постоянные коэффициенты С_i (i = 0, 1, 2) рассматриваются как псевдонастроечные параметры регулятора и легко пересчитываются в действительные настройки

Варьируя параметром настройки дифференциальной составляющей ПИД-закона регулирования с₂, строятся области модально-параметрического разбиения для настроек с₀ и с₁.

Прежде чем находить ПИД-закон регулирования, попытаемся найти области МП-разбиения для более простого ПИ-закона регулирования. Однако использование ПИ-регулятора приводит к необходимости ослабления ограничения на быстродействие. На рисунке 21 представлен вариант расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости с₁-с₀ параметров ПИ-закона управления для t_р = 100 c и  = 0,15, т.е. до коррекции каких-либо параметров.

Рисунок 3.2 – Вариант начального расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости с₁-с₀ параметров ПИ-закона управления

Здесь кривая 1 (красный цвет линии) представляет собой параметрическую кривую D-разбиения, отделяющую зону устойчивости; кривая 2 (синий цвет линии) – это параметрическая кривая настройки регулятора для заданной интенсивности затухания (граница степени устойчивости  = 2,5); кривая 3 (зелёный цвет линии) – это параметрическая кривая настройки регулятора на заданную колебательность (степень затухания колебаний  = 0,75).

Рисунок 3.3 - Вариант расположения критических линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИ-закона управления

На рисунке 3.4 представлен вариант расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИ-закона управления при с₂=0 для t_р = 50 c,  = 0,999.

Рисунок 3.4 - Вариант коррекции расположения критических линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИ-закона управления при t_р = 50 c,  = 0,999

Методом варьирования значения t_р, которое представляет собой значение времени регулирования при законе регулирования с меньшими возможностями, получаем t_р =50. Найденные значения t_р = 50 с и  = 0,999 представляют собой критические значения времени регулирования и степени затухания колебаний, то есть это предельное минимальное время регулирования и максимальную степень затухания колебаний при законе регулирования с меньшими возможностями. Данное значение t_р не удовлетворяет значению быстродействия, заданному в требованиях к системе. Значение  примем равным 0,95. Оптимизируем значение t_р за счёт применения ПИД-закона регулирования.

Уменьшим значение t_р в 2 раза, t_р = 25 с. Такое уменьшение является оптимальным, т.к. большее уменьшение времени невозможно реализовать в действительности. Теперь найдем оптимальное значение с_2. Для этого меняем значение этого параметра с 0 на некоторую величину. Начнем с с₂ = 0.1. График расположения критических линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ в этом случае представлен на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Вариант коррекции расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИД-закона управления с с₂ = 0.1.

Попробуем увеличить с₂ до 0.15. График расположения критических линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ в этом случае представлен на рисунке 3.6. А затем попробуем уменьшить с₂ до 0.08. График расположения критических линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ в этом случае представлен на рисунке 3.7.

Рисунок 3.6 - Вариант коррекции расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИД-закона управления с с₂ = 0.15.

Рисунок 3.7 - Вариант коррекции расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости c₁-c₀ параметров ПИД-закона управления с с₂ = 0.08.

3.3. Выбор настроечных параметров

Варьируя параметром настройки дифференциальной составляющей ПИД-закона регулирования с₂, строим области поиска модально-параметрического разбиения для настроек с₀ и с₁.

Выбирая на плоскости “c₀-c₁” точки, принадлежащие всем построенным параметрическим областям допустимых значений, получаем параметры настройки ПИД-регулятора в виде троек c₀, c₁, c₂ .

Для проверки правильности полученных результатов, а также поиска наилучшего поварьируем значения с₂ и построим для каждого значения по 5 точек переходного процесса в синтезированной системе (рисунки 3.7-3.9), определим показатели её качества. Проверка осуществляется с использованием пакета Classic (файл 3.MDL прилагается). Результаты представлены в таблице 3.1-3.3.

Рисунок 3.8 - Вариант расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости с₁-с₀ параметров ПИД – закона управления при с₂=0,1

Таблица 3.1 – Показатели перерегулирования и времени регулирования при с₂=0,1

№ п/п	с0	с1	с2	Перерегулирование ф, %	Время регулирования tр, c
1	0,0075	0,06	0,1	41.67	14.7287
2	0,0065	0,06	0,1	39.61	13.8990
3	0,0045	0,06	0,1	35.47	9.2066
4	0,0035	0,06	0,1	33.4	9.0945
5	0,0065	0,05	0,1	36.48	15.4823
6	0,0045	0,05	0,1	31.59	10.5806
7	0,0040	0,05	0,1	30.36	10.5668
8	0,0035	0,05	0,1	29.11	10.4766
9	0,0040	0,04	0,1	26.36	12.9359
10	0,0035	0,04	0,1	24.97	12.9638

Рисунок 3.9 - Вариант расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости с₁-с₀ параметров ПИД – закона управления при с₂=0,15

Таблица 3.2 – Показатели перерегулирования и времени регулирования при с₂=0,15

№ п/п	с0	с1	с2	Перерегулирование ф, %	Время регулирования tр, c
1	0,0198	0,084	0,15	46.22	13.3880
2	0,0143	0,096	0,15	43.65	11.0365
3	0,0132	0,072	0,15	36.48	13.1105
4	0,0121	0,072	0,15	35.24	8.5138
5	0,0088	0,06	0,15	27.79	10.1176

Продолжение таблицы 3.2

6	0,0066	0,084	0,15	32.83	7.3322
7	0,0066	0,06	0,15	24.91	10.0850
8	0,0055	0,072	0,15	27.76	8.1433
9	0,0055	0,06	0,15	23.46	9.8097

Рисунок 3.10 - Вариант расположения фигуративных линий параметрического разбиения плоскости с₁-с₀ параметров ПИД – закона управления при с₂=0,08

Таблица 3.3 – Показатели перерегулирования и времени регулирования при с₂=0,08

№ п/п	с0	с1	с2	Перерегулирование ф, %	Время регулирования tр, c
1	0,0025	0,03	0,08	24.46	16.0351
2	0,0025	0,036	0,08	26.95	13.3638
3	0,0026	0,03	0,08	25	16.0194
4	0,0027	0,036	0,08	27.79	13.3999
5	0,003	0,036	0,08	29.03	13.3591
6	0,0032	0,042	0,08	32.28	11.7824
7	0,0035	0,048	0,08	35.81	10.6647

Сравним точки с наилучшими показателями перерегулирования, выбирая по одной лучшей из каждой таблицы.

Таблица 3.4 – Сравнительная таблица

№ п/п	с0	с1	с2	Перерегулирование ф, %	Время регулирования tр, c
1	0,0035	0,04	0,1	24.97	12.9638
2	0,0055	0,06	0,15	23.46	9.8097
3	0,0025	0,03	0,08	24.46	16.0351

Можно сделать вывод о том, что точка под номером 2 из таблицы 3.4 с учётом критериальной стратегии обладает лучшими показателями качества по сравнению с другими выбранными точками.

Данная точка имеет координаты с₀ = 0,0055, с₁ = 0,06, с₂ =0,15. Соответственно действительные настройки имеют вид: T_и=181,82, T_д=0,15, k_p=0,06.

ПИД-регулятор подключается к объекту управления согласно типовой схеме регулирования по отклонению, представленной на рисунке 3.11

Рисунок 3.11 – Типовая схема регулирования по отклонению

Передаточная функция ПИД – регулятора, полученная путём подстановки значений в формулу (*):

Переходный процесс в синтезированной системе показан на рисунке 3.12.

Рисунок 3.12 – Переходный процесс в синтезированной системе

Показатели качества синтезированной САУ имеют значения:

• время регулирования, исходя из 5 %-трубки регулирования, t_р = 9.8097 с;

• перерегулирование _ф = 23.46 %.

Таким образом, в результате синтеза ПИД – закона управления были получены такие настроечные параметры регулятора, при которых переходный процесс в САУ обладает показателями качества не хуже заданных.