Teoriya avtomatichnogo keruvannya
.pdfГлава 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
де /(/) — породжуюча безперервна функція; |
- пТ0) — зміщена на |
||||
чася7|, дельта-функція. |
|
|
|
|
|
Перетворення Лапласа від функції (10.19) має вигляд |
|
||||
Ґ(5) = |
]/(пТ0)е-«Ф |
= |
] |
пТ0) е-*йі |
= |
|
|
|
/7=0 |
|
(10.20) |
|
|
|
|
|
|
= //=0 о Е |
\А№-пТ0)е-«Л= |
±ЛпТ0]е-яТ«. |
|
||
Це п е р е т в о р е н н я |
н а з и в а є т ь с я |
дискретним перетворенням |
Лсіпласа. У |
||
символічній формі воно записується так: |
|
|
|||
Ґ(з)=Щ/[пТа]}.
Якщо аргументом безперервної функції є відносний час 1 = ї/Т0,
то формула дискретного перетворення |
|
||
|
Г*(д)=П{/[п]}= |
(10.21) |
|
|
|
п = 0 |
|
де я = $Т0 |
— комплексне число, що називається параметром дис- |
||
кретного |
перетворення |
Лапласа. |
|
Дискретне перетворення для зміщених решітчастих функцій |
|||
|
Ґ(д, є)= П{/[п, є]} = Е/[/7, е]е-«". |
(10.22) |
|
|
|
п = 0 |
|
Зображення |
трансцендентними функціями від 5 і д, |
||
що робить неможливим застосування звичайних методів аналізу в площині 5 або д для дослідження імпульсних систем. Прийнятнішим є так зване 2-перетворення. Формули ^-перетворення випливають з формул (10.21) і (10.22), якщо виконати підстановку^ =2:
т=2{/[п]}= |
Х / М г " - ; |
(10.23) |
|
п = 0 |
|
Г(г, е)=2с{/[п, є]} |
= ^ / [ п , г]2-". |
(10.24) |
|
п= 0 |
|
Формули ^-перетворення можна записати також для безперервної породжуючої функції у вигляді
510
10.4.Математичний апарат
для дослідження імпульсних САК
Г(г) =!{/(*)},( = пТп,
(10.25)
Ріг, г)=гЛ/(()},ї = (п + Е)Тп,
де п = 0, 1, 2,...
•Приклад 10.3. Визначити г-перетворення одиничної решітчастої функції /[л] = \[п].
Р о з в ' я з а н н я . За формулою (10.23)
|
|
т = 2{\[п]}= |
XI [ л ] г - = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 2 + 2 |
+ 2 + .. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сума цієї |
геометричної прогресії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.26) |
|
|
|
2Ш) |
= 1 — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 - П е р е т в о р е н н я д е я к и х ф у н к ц і й |
п о д а н о |
в табл. |
10.1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 10.1 |
||
Безпе- |
Решіт- |
Пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рервна |
2-Перетворення |
|
|
|
Модифіковане |
||||||||||
пород- |
часта |
творення |
|
|
|
||||||||||
жуюча |
функція |
Лапласа |
|
т |
|
|
2-перетворення |
|
є) |
||||||
функція |
№ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к / ) |
т |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
пТ„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
т<? |
|
і |
іЬ? |
||
|
|
(г |
- |
і)2 |
|
(2 |
- І) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7^(2+1) |
|
Т'гг |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Ґ |
;("Т0)2 |
|
|
|
|
|
|
2(2 - |
О3 |
|
(2 |
- І)2 |
|||
|
2(2 - |
І)3 |
|
|
|
|
|
( е № |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( 2 - 1 ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
7^2 |
є3 |
; |
Зег |
|||||
|
|
|
Г032 (г2 + 4 г + 1 ) |
|
|
З! 2 - 1 + (2 - І)2 |
|||||||||
З! |
З! |
|
3!(2-1)4 |
|
ЗЄ(2+І) |
22 + 42 + |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(.2 - І ).3, |
+ ' |
(2 - І) 4 |
|||||
5 1 1
Г л а в а 10 |
ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закінчення |
табл. 10.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Безпе- |
Решіт- |
Пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рервна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пород- |
часта |
творення |
2-Перетворення |
|
|
Модифіковане |
|||||||||
жуюча |
функція |
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
2-перетворення Р(2, б) |
|||||
функція |
т |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е'ш |
е~апТ" |
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + (X |
2 - СІ |
|
|
|
|
|
2 - СІ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
(1 |
|
-4)2 |
|
|
|
|
|
|
\-еш |
\-еапТ» |
|
|
|
( 2 - і |
|
){2-ау |
|
2 |
- ^ |
,с/=е-«т° |
||||
|
|
+ |
а ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
сі = е~иТ" |
|
2 - 1 |
2 - СІ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Р |
|
|
2 3ІП Р ^ |
|
22 8ІП Є Р Т0 + 2 8ІП у Р Т0 |
||||||
8ІП(ЗГ |
8ІП РП Т0 |
|
2 |
2 |
22 - |
|
22 |
- 22 С08 Р Т0 + 1 |
|||||||
* |
22 |
СОЗ |
Р |
Т0 + |
1 |
||||||||||
|
|
|
+ Р |
|
|
|
|
|
у = 1 - 8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо основні властивості 2-перетворення стосовно незміщених решітчастих функцій. Ці ж властивості є справедливими також для зміщених функцій /[п, є], крім випадків, для яких буде зроблено застереження.
1. Властивість лінійності. Зображення лінійної комбінації решітчастих функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації їх зображень. Отже, якщо решітчаста функція має вигляд
/ М = £ с , / Л / і ] , |
(Ю.27) |
V = І |
|
то її зображення |
|
V = 1 |
(10.28) |
|
|
2. Запізнювання і випередження (зсув за |
часом на ціле число пе- |
ріодів). Для решітчастої функції, зсунутої праворуч (запізнюючої) на т періодів,
2{/[п-т]} = 2~"Т(2), |
(10.29) |
де Р(і) — зображення функції /[п].
512
10.4.Математичний апарат
для дослідження імпульсних САК
Для решітчастої функції, зсунутої ліворуч (випереджуючої) на т періодів,
|
2{/[п + |
т]} = |
гЛ |
|
т- І |
г~к |
|
(10.30) |
|||
|
|
к = 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо /[п] = 0 при /7 = 0, |
1,2, |
|
т - 1, то |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2{/[п + т]} = 2тГ(г). |
|
|
(10.31) |
|||||
3. |
Множення оригіналу |
на |
експоненту |
е1пТ{). |
Зображення |
незміще- |
|||||
ної решітчастої функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2{е^/[п]} |
= Р\^\, |
|
|
|
|
(10.32) |
||
де сі = е 0, а зміщеної |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2{е""'«/[п,г]} |
= |
с |
і |
< ( |
Ю . |
З З ) |
|||
4. |
Зображення |
різниць |
(аналог |
зображення |
похідної). |
Для |
різниці |
||||
к-то порядку маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2{Ак/[п]} |
= |
(2- |
1 )кР{2)-2^{2 |
- |
1)к-1-"А"/[0], |
|
(10.34) |
|||
у = 0
звідки для першої різниці (к = 1, V = 0)
2{А/[п]} = (2- \)Р{2) ~2/[0],
для другої
2{А2/[п]} = (2- 1 )2Р{2} - 2(2 - 1)/[0] - 2А/[0].
Якщо початкові умови нульові, тобто при п = 0 функція /[п] та її різниці до ( к - 1)-ї включно дорівнюють нулю, то
2{Ак/[п]} = (2-\)кР(2). |
(10.35) |
5. Зображення суми (аналог зображення інтеграла). Зображення
суми
Ги-1 |
і |
|
2\-£/[т]\ = |
2{о[п]}=*Щ. |
(10.36) |
[/77=0 |
) |
2 - І |
17 Теорія автоматичного керування |
513 |
Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
6. Початкове значення решітчастої функції. П р и п- 0
|
|
/ [ 0 ] = І і ш / [ п ] = |
Ііт |
|
Р(г). |
(10.37) |
|||
|
|
|
//—>0 |
|
2 —» оо |
|
|
|
|
7. |
Кінцеве |
значення решітчастої |
функції. П р и |
я = |
з н а ч е н н я ре- |
||||
шітчастої функції обчислюється за формулою |
|
||||||||
|
|
/[оо]= |
Нш /[п]= |
І і щ ^ і а д . |
(10.38) |
||||
|
|
|
|
°° |
|
- -» і |
^ |
|
|
8. |
Згортка |
решітчастих |
|
функцій. |
Я к щ о |
|
|
||
|
|
2{/ї[п]} |
= |
Р1(г)і |
2{/2[п]} |
= |
Р2(г), |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.39) |
9. |
Зображення функції Р($) |
= |
Т7, |
(ел/" )Р2(з)\ |
|
|
|||
|
|
2{Р(з)} = Р^)2{Р2(з)}. |
|
|
(10-40) |
||||
10. Розв'язування різницевих |
рівнянь. |
Послідовність |
р о з в ' я з у в а н н я |
||||||
різницевих рівнянь методом ^-перетворення аналогічна послідовності розв'язування диференціальних рівнянь при використанні перетворення Лапласа безперервних функцій. Спочатку треба перейти від різницевих рівнянь відносно оригіналів до алгебричних рівнянь відносно їх ^-зображень, потім визначити ^-зображення шуканої функції, розв'язавши знайдене алгебричне рівняння, і нарешті перейти від г-зображення до оригіналу — шуканої решітчастої функції.
Нехай, наприклад, різницеве рівняння має вигляд (10.18)
а0у[п + т] + ах у [п + т - 1] + ... + ату [п] = / [п].
Розв'яжемо це рівняння за початкових умов у[0] = у0,у[1] = У],
За функцією-оригіналом /[гі]визначимо Р(г)= 2{/[н]}. Позначимо У(і) = 2{у[п]}, потім, з урахуванням виразу (10.30), визначимо ^-перетворення лівої частини рівняння (9.18) і подамо його у вигляді
514
1 0 . 4 . Математичний апарат
для дослідження імпульсних САК |
|
А(2)У(2)=Г(2)+ Мп(2:), |
(10.41) |
де А(2) = а02т + ах 2т~1 + ... + ат — характеристичний поліном; М(2) = Ь()2т + Ь{2т~{ + ... + Ьт — поліном, коефіцієнти якого залежать від початкових умов. Для нульових початкових умову() = у{ = ... = уП]_{ =0
Д/п (г) = 0.
Звиразу (10.41) знаходимо зображення шуканої функції
уГіг)+ МЛг)
А(г) А(2)
І переходимо до оригіналу
[А(2) А(2)
Для переходу до оригіналу зображення доцільно подати у вигляді суми простих дробів, для яких оригінали можна знайти в таблицях перетворень функцій часу (див. табл. 10.1), і записати оригінал у[п]
як суму оригіналів, що відповідають простим дробам.
Значення функції у[п] в дискретних точках можна обчислити без знаходження аналітичного виразу для неї, якщо розкласти зображення У(2) в ряд Лорана:
7(2) = с0 +с{2~1 + с2 2"2 +с32~3 + ... |
(10.42) |
Справді, з формули (10.23) дістаємо
Г(2)= ^у[п]2-п =у[0] + у[1]2-[ +у[2]2~2 + ... |
(10.43) |
/1=0
З порівняння рядів (10.42) і (10.43) випливає, що у[0] = с(),
\ \\] = сї,у[2]=с2 і т . д.
Найзручнішим способом розкладання в ряд Лорана дрібнораціопальних функцій є ділення чисельника на знаменник.
•Приклад 10.4. За відомим ^-перетворенням
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (2) = |
2 |
|
|
— |
|||
|
|
2 |
- 0,72 +0,1 |
||||
визначити оригінал у[п].
Р о з в ' я з а н н я . Розкладемо У(г) на суму простих дробів. Для цього визначимо корені рівняння 22 - 0,72 + 0,1 = 0. Маємо 2, = 0,5 і 22 = 0,2, тоді
515
Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
У(і) = |
(2 |
— |
= юГ |
2 |
|
- 0,5)(2 - 0,2) |
и - 0 , 5 2 - 0 , 2 |
||
Зтабл. 10.1 знаходимо, що доданку 2/(2-0,5) відповідає оригінал
еш,т\ де еаТі) =сІ = 2, = 0,5, тобто оригінал має вигляд 0,5". Аналогічно
доданку 2/(2 - 0,2) відповідає оригінал 0,2". Отже, шукана решітчаста функція має вигляд
у [п]= |
10(0,5" -0,2"). |
Звідси знайдемо дискретні |
значення функції у[п]\ .у[0] = 0; д>[1] = 3; |
у [2] = 2,1; у[3] = 1,17 і т. д. |
|
Визиачимо тепер дискретні значення функції у[п], розклавши зображення У(г) в ряд Лорана діленням чисельника на знаменник:
32 |
22 - 0,72 + 0,1 |
3 2 - 2 , 1 + 0,32"' |
32-' + 2,12-2 + 1,172-3 + , |
2,1-0,32"' |
|
2,1- 1,472-' |
+ 0,2 ЬГ2 |
1,172-' - 0,212~2
1,172-' - 0,8192~2 + 0,1172-3
Отже,
Г ( 2 ) = 0 + 3 2 " ' + 2 , І 2 " 2 + 1,172'3 +
тобтоу[0]= 0; у[\] = 3; у [2] = 2,1; у [3]= 1,17.
10.5
Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи
Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилом перенесення суматорів у безперервних системах, реальний
імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з'єднання ідеального імпульсного елемента і формувача (див. п. 10.3). Отже, структурна схема зводиться до вигляду, зображеного на рис. 10.7, а, де
516
10.5.Передато чна функція
р03іМКНут0ї імпульсної системи
ІУф(р),Ж6п (р)— передаточні функції формувача і безперервної частини системи.
Формувач об'єднується з безперервною частиною системи в одну приведену безперервну частину з передаточною функцією
ІУп(р)=1¥іЬ(р)1¥6п(р).
Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи має вигляд, зображений на рис. 10.7, б. Зірочка в індексі означає, що сигнал дискретний, тобто становить послідовність миттєвих імпульсів.
а |
б |
Рис. 10.7
Щоб визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої системи, що складається з послідовно з'єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, треба знайти передаточну функцію приведеної безперервної частини, а потім її ^-зображення:
Щі)=2{^п(р)}. (Ю.44)
При нульових початкових умовах передаточні функції \У(р) \ І¥(я) формально збігаються і 2{IV(з)} = 2§¥(р)}, тому надалі при виконан-
ні 2-перетворень використовуватимемо співвідношення С[ - рТ{) і
г = ЄЯ =ЄРТ{\
Передаточна функція Жп (р) залежить від форми імпульсів на виході імпульсного елемента через те, що Жп (р) = И^ф(р)И^6п (р), а ІУф(р) визначається формою імпульсів. Найчастіше використовуються імпульсні елементи, що генерують короткі прямокутні імпульси, висота яких дорівнює значенню х[п], а тривалість становить уТ0 (див. рис. 10.4), де у < 1. У цьому разі передаточна функція формувача визначається формулою (10.2), а передаточна функція приведеної безперервної частини — формулою
Р
Тоді згідно з (10.44) і (10.40)
517
Г л а в а 10 ДИСКРЕТНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
|
1 _ р-ЧТі\Р КЛР)\ |
|
= |
|
|
Р |
\ |
. |
(10.45) |
Вираз (10.45) можна подати і так: |
|
|
|
|
де є = 1 - у. |
1 |
|
|
|
При у = 1, коли імпульсний елемент є екстраполятором нульового порядку, вираз (10.45) матиме вигляд
Щ г ) = |
(10.46) |
За умови, що у « 1, вираз (10.45) спрощується:
Щг) = 2{уТ0)¥5п (р)} = уТ02{\У6п (р)}. |
(10.47) |
Для зміщеної решітчастої функції маємо
Щг,е) = у Т02^6п(р)}. |
(Ю. 48) |
Під час визначення дискретної передаточної функції розімкнутої системи слід враховувати відмінність у визначенні дискретних і безперервних передаточних функцій послідовно з'єднаних ланок. Для безперервних систем передаточна функція послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок. Для імпульсних систем з одним імпульсним елементом на вході це правило не є справедливим, тобто
Щг)Ф\[1 ¥ 1 { 2 ) . |
(10.49) |
і = 1
Для визначення дискретної передаточної функції IV (г) необхідно спочатку знайти
і= 1
апотім здійснити ^-перетворення
518
10.5.Передато чна функція
р03іМКНут0ї імпульсної системи
(10.50)
Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з'єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, запільну передаточну функцію можна знайти як добуток дискретних передаточних функцій, визначених для кожної ланки з власним імпульсним елементом, тобто
Щ2)=І\2{ЖПІ(Р)}, |
(10.51) |
і = 1
де И7ПІ(Р)— передаточна функція дискретного фільтра, тобто добуток передаточних функцій ланки і формувача імпульсного елемента цієї ланки.
При паралельному з'єднанні ланок дискретну передаточну функцію можна визначити як суму дискретних передаточних функцій, що знайдені для кожної ланки окремо:
Ж(2г)= |
(10.52) |
і= 1
•Приклад 10.5. Визначити дискретну передаточну функцію Ж(г) розімкнутої імпульсної системи, якщо передаточна функція безперервної частини
к{
гбп(р)= Р(ГІР+])(Г2Р+1)'
а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси (у « І) з періодом повторення Т0. При розрахунку прийняти: Т(І = І с; Т[ = І с; Т2 = 0,5с = 100 с"1; у = 0,01.
Р о з в ' я з а н н я . Згідно з виразом (10.47)
Щг) = у Т02 |
К, |
|
Р(Т\Р+ 1 )(Т2Р + 1) |
||
|
Передаточну функцію №6п(р) подамо у вигляді суми простих дробів. Рівняння Р(Т,Р+ \){Т2Р + І) має один нульовий корінь РІ = 0 і два дійсні: Рі = -1 /7]; Р3 = -1 /Т2, тому
К |
|
= К ! М = к ( А , |
Л |
, |
|
Р(ТІР+1)(Т2Р+1) |
Р<2(Р) |
\ Р |
Р+І/ТІ |
Р+\/Т2)' |
|
519