2) Потенциальная энергия тела массыm, находящегося в гравитационном поле другого тела массой м на расстоянии r0 от него.

M M m

r₀

Рис.4.

Для этого рассчитаем работу А перемещения первого тела по пути x, соответствующем максимальному сближению тел. Учитывая переменный характер силы тяготения данную задачу просто решить путем интегрирования

А = - Fdr = - fmM dr/r² = f mM/r_п – fmM/r₀. (8)

А = Е_по – Е_пк,

где r – переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак (-) потому, что для сближающихся масс dr отрицателен, т.к. работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.

Данную задачу можно было решить и без интегрирования, разбивая путь на достаточно малые отрезки, на каждом из которых можно считать силу тяготения постоянной, подсчитать совершаемые на этих отрезках работы и просуммировать их. Но это достаточно громоздко.

Из (4) и (6) следует, что

Е_п = -fMm/r - потенциальная энергия тяготения.

Знак (-) показывает, что по мере самопроизвольного сближения тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя в кинетическую.

В механике доказывается, что всякая предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии.

Из (7) следует, что максимальное значение кинетической энергии Е_п (W_п = 0) тяготеющие тела будут иметь в случае, когда они удалены на r = др. от др. и Е_п равна min при rr_min.

3) Определим потенциальную энергию тела массой m, находящегося на небольшой высоте h над земной поверхностью.

Е_п = - fMm/(R + h) = - f(Mm/R)/(1 + h/R), где

М – масса Земли, R – радиус Земли. Так как h/R <<1, то пренебрегая h²/R² по сравнению с 1, можно считать

1/(1 + h/R) = (1 – h/R)/(1 – h²/R²)  1 – h/R.

Тогда

Е_п = -fMm(1 – h/R)/R = - fMm/R + (fM/R²)mh, но fM/R² = g,

Тогда

W_п = - fMm/R + mgh,

где fMm/R – потенциальная энергия тела, находящегося на уровне земной поверхности, обычно принимают равной нулю, тогда

Е_п = mgh.

Механическая энергия является лишь одним из многих видов энергии. В настоящее время кроме мех. энергии известны химическая, электрическая, электромагнитная, ядерная, тепловая и др. В природе и технике постоянно имеют место переходы (превращения) энергии из одних видов в другие. Примеры ....

Следует отметить подробность, которую мы позже рассмотрим детальнее, что при любых превращениях энергии некоторая ее часть непременно превращается в теплоту.

Закон сохранения и превращения энергии применительно к любым ее видам был сформулирован в результате обобщения опытных фактов, но может быть получен и как следствие из законов механики Ньютона.

Полная энергия системы Е складывается из всех присущих системе видов энергии. Опыт показывает, что какие бы превращения энергии не происходили в изолированной системе, полная энергия изолированной системы остается постоянной:

Е = const

(закон сохранения и превращения энергии). При этом будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превращаться из одних видов в другие.

В этой формулировке отражены основные свойства энергии – количественная неизменность и качественная изменчивость.

Применительно к неизолированным системам этот закон формулируется так: изменение энергии неизолированной системы равно работе, совершаемой системой:

Е = - А.

Если работа совершается внутренними силами самой системы, то А>0 и энергия убывает. Если же работа совершается внешними силами над системой, то A<0 и энергия системы возрастает.

Закон сохранения и превращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений.

В качестве примера можно рассмотреть применение закона сохранения и превращения энергии и импульса к центральному удару двух абсолютно упругих шаров. Шары летят навстречу др. др. (сделать в качестве домашнего упражнения)