10.Работа силы и мощность. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения и превращения механической энергии.

Под действием постоянной силы F тело В может совершить некоторое перемещение r. Очевидно, что изменение скорости по модулю и перемещение возможно лишь в том случае, если проекция силы на направление перемещения тела отлична от нуля.

Составляющая силы Fcos называется движущей силой. Нормальная составляющая не вызывает перемещения тела по пути S.

Для характеристики перемещающего действия силы вводится

В

В S

Fcos

r Рис.1.

понитие работы. Работа равна произведению движущей силы на перемещение:

А = |F| |r|cos, т.е. (1)

А = (F r) -скалярное произведение векторов силы F и перемещения r. Работа – величина скалярная.

Из (1) видно, что при 0<<90⁰ - работа положительна – сила вызывает перемещение тела; при 90⁰<<180⁰ – работа отрицательна – сила препятствует движению тела; при  = 90⁰ – сила не совершает работы по перемещению тела. В частности, центростремительная сила, действующая на тело, равномерно вращающееся по окружности, работы не совершает, т.к. F_ц.с.V. Если F|| r, то А = F r.

Если тело перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил (т.е. равна работе результирующей этих сил)

А = А_i = (F_i r) (2)

Формула (1) применима лишь для вычисления работы постоянной силы на прямолинейном пути. Однако в большинстве случаев траектории движущихся тел криволинейны, а силы, совершающие работу, изменяются по мере движения тел.

Чтобы найти работу переменной силы на криволинейном пути, весь путь разбивают на достаточно малые элементы. Каждый из элементов должен быть настолько мал, чтобы его можно было считать приблизительно прямолинейным, а действующую силу - неизменной в любой точке данного элемента пути. (Однако для различных элементов пути силы, вообще говоря, будут различными). Далее, для вычисления работы на каждом из элементов пути уже можно воспользоваться формулой (1). Тогда

А_i = F_i r_i cos_i .

Работа переменной силы на всем криволинейном пути будет:

А = F_ir_icos_i.

Поскольку число слогаемых конечное, то получится лишь приблизительная величина работы на пути. Чтобы увеличить точность, необходимо n или r_i и найти предел этой суммы, что практически сводится к операции интегрирования. Следовательно,

А = limF_i r_i = Fcosdr.

ro

F_s

Рис.2.

S

dS

Работу силы на некотором пути S можно определить из графика, дающего зависимость действующей силы от длины проходимого пути S, рис. 2

Действительно, элементарная работа на участке dS будет

dA = F_sdS - численно равна заштрихованной площади , а работа на всем пути как сумма элементарных работ будет равна сумме площадей всех тонких полосок, т.е. всей площади под кривой.

Единицей работы является джоуль.

1 Дж – работа, совершаемая силой 1Н при перемещении тела на расстояние 1м в направлении действия силы.

1Дж = 1 Нм.

Мощность N измеряется отношением работы А к промежутку времени t, за который она совершена:

N = A/t. (3)

В случае движения тела с постоянной скоростьюV под действием силы F (преодолевающей сопротивление движению) мощность выражается формулой

N = A/t = F r/t = FV.

Если же процесс работы протекает с течением времени неравномерно, то мощность определяется как отношение величины элементарной работы dA к элементарно малому отрезку времени dt, за который эта работа совершается

N = dA/dt (мгновенная мощность)

В системе СИ единица мощности ватт (Вт).

1Вт – мощность, при которой за время 1с совершается работа 1 Дж.

1 Вт = 1 Дж/с. 1гВт = 100 Вт, 1кВт = 1000 Вт.

Мы рассмотрели физическую величину работу силы, которая является количественной мерой передачи движения телу или системе тел. Рассмотрим еще одну физическую величину энергию, которая является количественной мерой движения материальных тел и систем, единой для всех форм движения материи. Процесс работы есть одна из форм передачи энергии от одного тела к другому. Поэтому работа может служить количественной мерой передаваемой энергии, она определяет изменение энергии тела. Именно работа А, приложенной к телу внешней силы, равна изменению энергии этого тела

А = Е = Е₂ – Е₁. (4)

Энергия характеризует способность тела или системы тел совершать работу или другими словами, энергия – это запас работы, которую способно совершить тело (или система тел) вследствие того, что оно обладает определенным состоянием движения. Энергия измеряется максимальной работой, которую при определенных (заданных) условиях может совершить эта система (тело).

Энергия характеризует состояние системы, способность системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое. Механическая энергия – однозначная функция состояния, т.е. данному состоянию тела соответствует одно и только одно значение его энергии.

Для измерения энергии служат те же величины, что и для измерения работы.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Если под действиемпостоянной силы F тело массы m переме-щается на Х, то сила совершает работу и энергия движущегося тела возрастает на величину проделанной работы. Если тело перемещается по горизонтальной прямой, то m

А = F x. F X

Рис.3.

Используя 2-ой зак. Ньютона и выражение для перемещения при равноускоренном движении, получим

А = mW x = mW( V₀t + Wt²/2 ). (5)

Определим время из уравнения

V(t) = V₀ + Wt  t = (V – V₀)/W и подставим его в (5)

А = mW V₀(V – V₀)/W + (V – V₀)²/2W²  = mV²(t)/2 – mV₀²/2 (6)

Величину Е_к = mV²/2 - наз.кинетической энергией.

Т.о., работа, совершаемая телом, равна изменению его кинетической энергии.

А = Е_к1 – Е_к0.

Кинетическая энергия увеличивается, когда А > 0 и уменьшается, когда А<0. Например, силы трения совершают А<0.

Если в конце рассматриваемого перемещения тело останавлива-ется (V(t) = 0), то совершенная максимальная работа равна кинетической энергии тела в начале перемещения. Значит, работа силы трения является мерой изменения кинетической энергии.

Пользуясь уже применявшимся выше приемом разбивки траектории тела на малые отрезки, несложно доказать, что формула (6) справедлива и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.

Второй вид механической энергии – потенциальная энергия Е_п – определяется взаимным положением тел или частиц, находящихся под воздействием сил взаимодействия. Потенциальная энергия – это запас работы, которую могут совершить действующие на тело силы взаимодействия (например, силы тяжести или упругие силы) при перемещении этого тела из данного положения в конечное положение из которого дальнейшее его перемещение под действием тех же сил уже невозможно. Потенциальная энергия тела, занимающего какое-либо положение в пространстве, обычно находится путем вычисления указанной работы действующих на него сил. Только при этом необходимо предварительно установить то конечное состояние тела, в котором его потенциальная энергия принимается равной нулю.

В качестве примера определим: 1) потенциальную энергию упругодеформированного тела (стержня). Она равна максимальной работе А, совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:

Е_п = А.

Сила упругости равна

F = ESl  l.

Эта сила является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения l, изменяясь от нуля при l = 0 до F. Поэтому можно считать, что при перемещении l действует средняя сила упругости

<F> = ( 0 + F )/2 = F/2.

Тогда A = <F>l = F l 2 = ES(l)²/2l₀,

следовательно

Е_п = к(l)²/2, (7)

где к = ES/l - коэффициент пропорциональности в законе Гука.

При всех других видах деформации потенциальная энергия тоже пропорциональна квадрату деформации (смещения).