3). Вычисление потенциалов некоторых простейших электростатических полей.

1 .Потенциал электрического поля точечного заряда q.

Рассмотрим в этом поле неко­торую точку, удалённую на расстояние r от заряда, и найдём потенциал в этой точке относительно бесконечности. Т.к. разность потенциалов не зависит от формы пути, то мы предположим, что заряд (+1) перемещается из точки r в бесконечность вдоль радиуса, т.е. вдоль силовой линии. Тогда

U = = (q/4pe₀)= (1/4pe₀)q/r.

Потенциал убывает пропорционально 1/r.

2.Плоский конденсатор. Вычислим разность потенциалов между поло­жительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удалённой на расстояние х от нее. Вспомним, напряжённость поля в плоском конденса­торе Е = s/e₀, поэтому

U = = s/e₀ =sx/e₀. Полное напряжение между электродами

U_{0 =} sd/e₀,

где d - расстояние между пластинами. Поэтому

U = U₀x/d.

В плоском конденсаторе потенциал изменяется с расстоянием по линей­ному закону. Искажения электрического поля вблизи краёв мы не учитываем.

3. Шаровой конденсатор.

Имеются два электрода в виде концентрических сфер с радиусами а (внутренний) и в (внешний). Напряжённость Е между электродами

Е = q/4pe₀r² (как и для точечного заряда).

Следовательно, разность потенциалов между внутренней сферой и ка­кой-либо точкой внутри конденсатора, удалённой на расстояние r от цен­тра конденсатора, равна

U = = (q/4pe₀r² )= (q/4pe₀r² )(1/a – 1/r).

Если r®¥, то

U = q/4pe₀a.

Разность потенциалов между электродами U₀

U₀ =(q/4pe₀)(1/a – 1/b).

Откуда

U = U₀(1/a –1/r)(1/a – 1/b),

т.о. измеряя U₀, можно вычислить U в любой точке поля.

Электроёмкость. Конденсаторы.

Рассмотрим заряженный уединенный проводник, находящийся в непо­движном диэлектрике (вдали от заряженных тел и других проводников). При сообщении ему некоторого заряда последний распределяется по его поверхности с различной плотностью s. Однако характер этого распределения зависит не от общего заряда q, а только от формы проводника. Каждая новая порция зарядов распределяется по по­верхности проводника подобно предыдущей. Т.о., s изменяется пропор­ционально q. Между зарядом проводника q и его потенциалом U су­ществует прямая пропорциональность:

q = CU (1)

Коэффициент С зависит только от размеров и формы проводника, а также от диэлектрической проницаемости окружающего диэлектрика и ее распределения в пространстве.

Он называется емкостью уединённого проводника.

Пример: Для уединенного проводящего шара радиуса R, несущего заряд q и находящегося в однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью e потенциал

U = q/4pe₀eR,

oткуда С = 4pe₀eR. (2)

Из последней формулы видно, что ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его элек­троёмкость не зависит.

За единицу электроёмкости в СИ, называемой фарадой (Ф), принимается элек­троёмкость такого уединённого проводника, потенциал которого изме­няется на один вольт при сообщении ему заряда в один кулон: 1Ф=1К/В.

Если проводник А не уединённый, т.е. вблизи него имеются другие про­водники, то его электроемкость больше, чем у такого же, но уединённого проводника, потому что при сообщении проводнику А заряда q окружающие его проводники заряжаются через влияние. Причём бли­жайшие к наводящему заряду q оказываются заряды противоположного знака. Эти заряды несколько ослабляют поле, создаваемое зарядом q. Т.о. они понижают потенциал проводника А и повышают его электроёмкость.

Наибольший интерес представляет система, состоящая из двух близко расположенных друг от друга проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Если проводники находятся вдали от каких бы то ни было заряженных тел и иных проводников, то

U₁-U₂= U = q /C, или С = q/U, (3)

где С - взаимная электроёмкость двух проводников, зависит от их формы, размеров и взаимного расположения, а также от диэлектрической прони­цаемости среды.

Важным для практики является случай, когда два разноименно заря­женных проводника имеют такую форму и так расположены друг относительно друга, что создаваемое ими электрическое поле полностью или почти полностью сосредо­точено в ограниченной части пространства. Такая система проводников называется простым конденсатором или просто конденсатором, а сами проводни­ки - его обкладками.

Электроёмкость конденсатора представляет собой взаимную ёмкость его обкладок и выражается формулой (3). В зависимости от формы обкла­док конденсаторы делятся на плоские, сферические и цилиндрические.

Вычислим емкость плоского конденсатора. Будем считать, что зазор между пластинами мал по сравнению с их размерами, так что краевыми эффектами можно пренебречь. Если поверхностная плотность заряда s и диэлектриком является вакуум, то

U=sd/e₀ ,

где d - расстояние между пластинами.

Но q = sS,

поэтому

С =q/U = e₀S /d.

Если диэлектриком является не вакуум, а вещество с диэлектрической проницаемостыо e, заполняющее все пространство, где имеется электрическое поле (пространство между обкладками), то ёмкость будет в e раз больше:

С = ee₀S/d.

При уменьшении расстояния d между пластинами ёмкость уве­личивается, что можно наблюдать на опыте.

Конденсатор характеризуется не только электроёмкостью, но и так называемым "пробивным напряжением" - разностью потенциалов между его обкладка­ми, при которой может произойти его пробой, т.е. электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.

Для получения больших электроёмкостей конденсаторы соединяют параллельно, рис.15. C₁

1 C₂ 2

C₃ Рис. 15.

Пусть электроёмкость конденсаторов С₁, С₂,…С_n.

В этом случае общим для всех конденсаторов является напряжение U и мы имеем: q₁ = С₁U, q₂= С₂ U ,…

Суммарный заряд, находящийся на батарее, равен

q = Sq_i = USC_i

и поэтому емкость батареи

C = q/U = SC_i.

Емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме ем­костей отдельных конденсаторов. Допустимое напряжение на батарее бу­дет равно меньшему допустимому напряжению из всех конденсаторов.

Если к концам батареи последовательно соединенных конденсаторов приложить разность потенциалов U, то крайние пластины зарядятся раз­ноименными зарядами ± q. Вследствие электростатической индукции на всех промежуточных пластинах индуцируются заряды, также численно равные ± q, как это показано на рис.16.

С₁ С₂ С₃

+q -q +q -q +q -q

Рис.16.

Т.е. при последовательном соединении одинаковым для всех конденсаторов является заряд q, равный полному заряду батареи, и мы можем записать : U₁=q/C₁, U₂=q/C₂ ,…

Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

U = = q,

Поэтому 1/С = S1/C_i

При последовательном соединении конденсаторов суммируются обрат­ные величины емкостей. В этом случае напряжение на каждом конденсато­ре будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое рабочее напряжение батареи будет больше, чем у одного конденсатора. В отдель­ных случаях используют смешанное соединение конденсаторов.