18. Постановка экономико-математической модели включает решение следующих вопросов:

а) формулировка задачи и анализ качественных зависимостей;

б) формулировка задачи и цель решения задачи;

в) цель решения задачи и структурная формулировка задачи;

г) формулировка задачи, цель ее решения и период планирования.

19. Переменные экономико-математической модели подразделяются на:

а) основные, логические, вспомогательные;

б) качественные, дополнительные, вспомогательные;

в) основные, дополнительные, вспомогательные;

г) основные, дополнительные, количественные.

20. Основные переменные экономико-математической модели – это те, которые:

а) составляют основное содержание модели;

б) показывают величину недоиспользования ресурсов;

в) показывают превышение ресурсов над минимальным их уровнем;

г) привлекаются для определения расчетных показателей.

21. Дополнительные переменные экономико-математической модели – это те, которые:

а) составляют основное содержание модели;

б) показывают величину недоиспользования ресурсов или их превышение над минимальным уровнем;

в) привлекаются для характеристики качественных показателей;

г) привлекаются для определения расчетных показателей.

22. Вспомогательные переменные экономико-математической модели – это те, которые:

а) составляют основное содержание модели;

б) показывают величину недоиспользования ресурсов;

в) показывают превышение ресурсов над минимальным их уровнем;

г) привлекаются для определения расчетных показателей.

23. Ограничения экономико-математической модели подразделяются на:

а) основные, логические, вспомогательные;

б) качественные, дополнительные, вспомогательные;

в) основные, дополнительные, вспомогательные;

г) основные, дополнительные, количественные.

24. Основные ограничения экономико-математической моде- ли – это те, которые:

а) описывают наиболее существенные условия задачи и включают почти все ее переменные;

б) записываются по отдельным переменным задачи и определяют границы их изменения;

в) применяются для установления соотношения между переменными задачи;

г) применяются для характеристики качественных зависимостей.

25. Дополнительные ограничения экономико-математической модели – это те, которые:

а) описывают наиболее существенные условия задачи и включают почти все ее переменные;

б) записываются по отдельным переменным задачи и определяют границы их изменения;

в) применяются для установления соотношения между переменными задачи;

г) применяются для характеристики качественных зависимостей.

26. Вспомогательные ограничения экономико-математической модели – это те, которые:

а) описывают наиболее существенные условия задачи и включают почти все ее переменные;

б) записываются по отдельным переменным задачи и определяют границы их изменения;

в) применяются для установления соотношения между переменными задачи;

г) применяются для характеристики качественных зависимостей.

27. Структурная экономико-математическая модель включает следующие условные обозначения:

а) индексация, количественные и качественные показатели;

б) индексация, логические и качественные показатели;

в) индексация, относительные и абсолютные показатели;

г) индексация, неизвестные и известные величины.

28. Исходная информация экономико-математической модели включает следующие группы показателей:

а) технико-экономические коэффициенты, свободные члены, коэффициенты целевой функции;

б) количественные и логические показатели, коэффициенты целевой функции;

в) качественные и относительные показатели, коэффициенты целевой функции;

г) абсолютные и логические показатели, свободные члены.

29. Индекс i в структурной записи экономико-математической модели обозначает:

а) номер столбца;

б) номер строки;

в) множество строк;

г) множество столбцов.

30. Индекс j в структурной записи экономико-математической модели обозначает:

а) номер столбца;

б) номер строки;

в) множество строк;

г) множество столбцов.

31. Запись в структурной экономико-математической модели обозначает:

а) произведение всех j;

б) суммирование ресурсов по множеству отраслей ;

в) суммирование по всем j, принадлежащим множеству ;

г) произведение ресурсов по множеству .

32. Методика обоснования исходной информации экономико-математической модели зависит от:

а) качественных характеристик изучаемого объекта;

б) качественных и количественных характеристик изучаемого объекта;

в) абсолютных и относительных показателей;

г) цели решения задачи и периода планирования.

33. Под критерием оптимальности понимают:

а) экономическую категорию, определяющую цель решения задачи;

б) коэффициент корреляции;

в) коэффициент ковариации;

г) свободный член экономико-математической модели.

34. Критерии оптимальности подразделяются на:

а) глобальный и достоверные;

б) глобальный и логические;

в) глобальный и локальные;

г) достоверный и локальные.

35. Глобальный критерий оптимальности выражает:

а) цель функционирования предприятия;

б) мультиколлинеарность факторов;

в) цель функционирования производственного подразделения предприятия;

г) требования общества к уровню эффективности использования ресурсов.

36. Количественное выражение критерия оптимальности есть:

а) асимметрия;

б) целевая функция;

в) эксцесс;

г) корреляция.

37. Неизвестные величины экономико-математической задачи должны быть:

а) отрицательными;

б) относительными;

в) неотрицательными;

г) дробными.

38. Какое основное требование предъявляется к переменным оптимизационной модели?

а) число переменных не обязательно зависит от планового периода;

б) число переменных не зависит от возможностей программы, с помощью которой будут решать задачу;

в) число переменных не должно отражать основное содержание задачи;

г) число переменных должно отражать основное содержание задачи.

39. Какой из этапов является определяющим в получении качественных результатов при построении оптимизационной модели?

а) постановка задачи и обоснование критерия оптимальности;

б) построение структурной экономико-математической модели;

в) обоснование периода планирования, т. е. года, на который будем выполнять расчет;

г) обоснование перечня неизвестных, перечня условий (ограничений).

40. О каком критерии оптимальности идет речь: используется для решения оптимизационных задач более низкого уровня?

а) глобальный;

б) локальный;

в) лучший;

г) худший.

41. Математическим аппаратом оптимизационных моделей является:

а) векторное пространство;

б) линейное программирование;

в) математическая статистика;

г) теория графов.

42. Математическим аппаратом эконометрических моделей является:

а) векторное пространство;

б) линейное программирование;

в) корреляционно-регрессионный анализ;

г) теория графов.

43. Ограничение оптимизационной модели – это:

а) уравнение или неравенство, с помощью которого записано свойство исследуемого объекта;

б) производная функции;

в) неравенство, выражающее цель решения задачи;

г) система взаимосвязанных уравнений.

44. Для решения задач линейного программирования используется:

а) метод наименьших квадратов;

б) симплексный метод;

в) метод половинных средних;

г) правило «трех сигм».

45. В оптимизационных моделях дополнительные переменные y_i означают:

а) величины недоиспользования ресурсов;

б) убыток, получаемый от ресурсов;

в) оценку дефицитности ресурсов;

г) объем запасов ресурсов.

4. Алгоритм симплексного метода

Рассмотрим алгоритм симплексного метода на следующем примере.

Определить размеры отраслей подразделений, обеспечивающих получение максимума прибыли.

Исходная информация.

1. В подразделении хозяйства получили развитие зерновые, лен-долгунец, картофель.

2. Производственные ресурсы подразделения: пахотные земли – 500 га; труд – 20000 чел.-дн.

3. Технологические ограничения на размеры отраслей: зерновые – не менее 80 га, лен-долгунец – не более 150 га.

4. Показатели развития отраслей приведены в табл. 4.1.

Т а б л и ц а 4.1. Экономические показатели развития отраслей

Показатели на 1 га посева	Сельхозкультура
	Зерновые	Лен	Картофель
Расход пахотных земель, га	1	1	1
Затраты труда, чел.-дн.	9	28	32
Прибыль, у.д.е.	38	320	180

Решение. Цель решения задачи определяет ее содержание. Необходимо обосновать размеры отраслей, обеспечивающих получение максимума прибыли.

Следовательно, неизвестными задачи будет посевная площадь сельскохозяйственных культур, га: площадь посева зерновых;площадь посева льна-долгунца;площадь посева картофеля.

Для определения значений переменных необходимо составить систему уравнений и неравенств, а также целевую функцию, которые в совокупности будут отражать требования задачи.

Выясним, в чем сущность предъявленных требований. Во-первых, посевная площадь сельскохозяйственных культур, возделываемых на пахотных землях, не должна превышать площади пахотных земель. Во-вторых, затраты труда на возделывание этих культур не должны превышать наличия трудовых ресурсов в подразделении. В-третьих, площадь посева отдельных сельскохозяйственных культур не должна выходить за допустимые пределы. При этом прибыль от развития этих отраслей должна быть наибольшей.

Итак, требуется найти (площади отдельных сельскохозяйственных культур) при следующих условиях:

1. По использованию пахотных земель –

;

2. По использованию труда –

;

3. По площади посева зерновых культур –

;

4. По площади посева льна-долгунца –

.

Получаемая прибыль должна быть максимальной:

.

Система неравенств имеет следующий вид:

;

; (1)

;

.

.

Дальнейшие преобразования и вычисления могут осуществляться различными модификациями симплексного метода. В данном случае остановимся на одном из них, который, как нам представляется, является более простым, если решение выполняется вручную. Сказанное не исключает возможности использования при вычислении других модификаций симплексного метода.

Приводим все ограничения к типу меньше-равно. Для этого ограничения типа(третье ограничение) умножаем на –1. Тогда имеем:

;

; (2)

;

.

.

В соответствии с требованиями алгоритма симплекс-метода превращаем неравенства в уравнения. Для этого вводим дополнительные переменные, гденомер ограничения. Дополнительных переменных вводим столько, сколько ограничений типа. В нашем случае вводим четыре дополнительные переменные:

;

; (3)

;

.

.

С экономической точки зрения дополнительные переменные обозначают величину недоиспользования ресурсов, если исходные ограничения (1) имеют вид меньше-равно , или обозначают величину превышения сверх минимума, если исходные ограничения типа больше-равно.

Рассмотрим изложенное на примере. Согласно системе (1) третье ограничение по площади посева зерновых культуримеет знак больше-равно. Допустим, чтоплощадь посева зерновых культур – равна 90 га, тогда. В ограничении системы (2) имеем. И тогдав системе (3) равен 10. Поскольку 80 га – минимальная площадь зерновых культур, а 90 га – фактически полученная площадь, тоесть величина превышения площади посева зерновых культур сверх минимума.

Согласно системам (1) и (2) ограничение 2 имеет следующий вид: . Допустим, что сумма произведений переменных левой части на коэффициенты по результатам решения равна 13500, тогда. В системе (2)равен 6500, т. е.= 20000. Поскольку 20000 – это запас ресурса труда, тобудет обозначать величину недоиспользования трудовых ресурсов.

Решение включает два этапа – поиск опорного (допустимого) и оптимального решений.

Опорное решение получаем при значениях переменных, которые, будучи подставленными в условия (ограничения) задачи, представленные в виде системы (3), обеспечивают выполнение всех условий задачи. Поиск опорного решения начинаем с допущения, что искомые переменные равны нулю, т. е. , в нашем случае. Тогда, подставив эти значения в уравнения системы (3), получим:

. (4)

Признаком наличия опорного решения, т. е. выполнения условий при , будут положительные свободные члены. При наличии хотя бы одного отрицательного свободного члена опорное решение будет отсутствовать. В нашем случае опорное решение отсутствует. Для его поиска сведем информацию в табл. 4.2.

Т а б л и ц а 4.2. Исходная первая симплексная таблица

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
–	0	1	2	3
	500	1	1	1
	20000	9	28	320
	–80	–1	0	0
	150	0	1	0
	0	–38	–320	–180

Переменные столбца 1 согласно равенствам (4), исходя из значений которых начинаем поиск оптимального решения, будут базисными. Базисные переменные согласно равенствам (4), т. е. в случае, когда искомые переменные равны нулю, будут равны свободным членам. Их значения заносим в столбец 2. Остальные переменные (в нашем случае) небазисные, они равны нулю.

На пересечении базисных и небазисных переменных записываем коэффициенты системы уравнений (3), т. е. в клетку К_1.1=1, К_1.2=1 и т. д. При записи коэффициентов F-строки (целевой функции) их знаки меняем на противоположные.

Приступаем к поиску опорного решения. Для этого необходимо, чтобы в процессе преобразований отрицательные свободные члены стали положительными.

Определение опорного решения. Среди отрицательных свободных членоввыбираем любой (с целью упрощения расчетов, особенно когда они выполняются вручную, лучше начать решение с отрицательного свободного члена, в строке которого стоят единицы). Допустим, берем отрицательный свободный член. Затем в строке взятого отрицательного свободного члена находим первый отрицательный коэффициент. Им будет. Делим свободные члены на соответствующие коэффициенты столбца, в котором мы взяли отрицательный элемент, т. е. делим значения столбца свободных членов на соответствующие коэффициенты столбца(при этом соответствующими будем считать те, которые стоят в одной и той же строке).

В нашем случае получим:

; ;

; на 0 не делим.

Коэффициенты F-строки в расчетах по поиску разрешающего элемента не участвуют.

В случае, если частное от деления на выбранный нами отрицательный элемент получится наименьшим по сравнению с другими частными, то этот отрицательный коэффициент станет разрешающим элементом. В нашем случае от деления на коэффициент получено частное 80, которое меньше других (500 и 2222,2). Значит, элементбудет разрешающим.

Разрешающий элемент показывает, какая из небазисных переменных заменит базисную. В нашем случае базисная переменнаязаменит небазисную. С экономической точки зрения введениев число базисных переменных означает, что переменная вошла в план, т. е. получит не нулевое значение.

Может получиться, что частное от деления на отрицательный элемент не будет самым меньшим. Например, пусть от деления свободных членов на коэффициенты вектор-столбца получим значения 50; 2222,2; 80. В этом случаене будет меньшим положительным числом и, следовательно, коэффициентнельзя брать за разрешающий. Тогда поступаем следующим образом.

В строке отрицательного свободного члена, если это возможно, находим следующий отрицательный элемент и делим свободные члены на соответствующие коэффициенты этого столбца, т. е. столбца с новым отрицательным элементом. Если частное от деления на новый отрицательный коэффициент будет меньшим положительным по сравнению с другими, то этот коэффициент возьмем за разрешающий (разрешающий элемент в симплексной таблице обводим рамкой). Если частное не является наименьшим положительным, то выбираем третий отрицательный коэффициент в строке отрицательного свободного члена или производим те же вычисления в строке другого отрицательного свободного члена до тех пор, пока не найдем разрешающий элемент.

После нахождения разрешающего элемента производим преобразования, т. е. приступаем к заполнению второй симплексной таблицы (табл. 4.3). Преобразования выполняем по следующим правилам.

1. Новый коэффициент вместо разрешающего равен единице, деленной на разрешающий. При этом новыми будем называть коэффициенты следующей симплексной таблицы по отношению к предыдущей:

,

гдеразрешающий элемент, стоящий в строкеи столбце, при;

номер строки, ;

номер столбца, ;

новый коэффициент вместо разрешающего. Данный коэффициентравен

;

Т а б л и ц а 4.3. Вторая симплексная таблица

Базисные переменные	Свободные члены Bi	Небазисные переменные
	420	1	1	1
	19280	9	28	32
	80	–1	0	0
	150	0	1	0
	3040	–38	–320	–180

2. Новые коэффициенты строки разрешающего элемента равны предыдущим, деленным на разрешающий:

.

Приэто правило не распространяется на разрешающий элемент. В нашем случае

;;

3. Новые коэффициенты столбца разрешающего элемента равны предыдущим, деленным на разрешающий, взятый с противоположным знаком:

При это правило не распространяется на разрешающий элемент. В нашем случае

4. Новые коэффициенты, не стоящие в строке и столбце разрешающего элемента, равны частному от деления разности произведения коэффициентов главной и побочной диагоналей, деленной на разрешающий элемент:

приэто правило не распространяется на коэффициенты строки и столбца разрешающего элемента. При этом коэффициенты прямоугольника с учетом разрешающего элемента относятся к главной диагонали. Например, чтобы найти новый коэффициент вместо, мысленно строим прямоугольник, главная диагональ которого составлена коэффициентоми разрешающим элементом, а побочная –и:

Отсюда

Аналогично определяем новый коэффициент вместо. Прямоугольник для него включает:

Таким образом рассчитываем остальные коэффициенты второй симплексной таблицы (см. табл. 4.3).

Если во второй симплексной таблице опорное решение отсутствует, т. е. в столбце свободных членов есть отрицательный элемент, то по изложенным выше правилам находим разрешающий элемент в строке отрицательного свободного члена.

По правилам 1–4 делаем преобразования, т. е. находим новые коэффициенты третьей симплексной таблицы. При этом базисную переменную меняем местами с небазисной.

В нашем случае опорное решение получено при значениях основной переменной и дополнительных;;;

Нетрудно убедиться, что, подставив значениев систему неравенств (1), все условия будут выполнены, т. е. во второй симплексной таблице найдено опорное решение.

Переходим к следующему этапу – поиску оптимального решения.

Определение оптимального решения. Опорное решение будет оптимальным, если коэффициенты целевой функции (F-строки) будут отрицательными или нулевыми при решении задачи на минимум и положительными или нулевыми при решении на максимум.

В нашем случае оптимальное решение (максимум функции) отсутствует, так как имеются отрицательные коэффициенты в F-строке. Поиск оптимального решения начинаем с определения разрешающего столбца. Разрешающим столбцом при поиске минимума функции будет являться тот, в целевой функции которого находится наибольший положительный коэффициент, а при поиске максимума функции – наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

В нашем случае в F-строке вектор столбца имеет наибольший по модулю отрицательный коэффициент (–320). Значит, столбецразрешающий.

Для того, чтобы найти разрешающий элемент, делим коэффициенты столбца свободных членов на соответствующие коэффициенты разрешающего столбца. Разрешающим будет тот элемент, от деления на который получим меньшее положительное частное. В нашем случае таковым будет, так как

на 0 не делим;

Меняем местами переменные ии определяем по изложенным выше правилам новые коэффициенты (табл. 4.4).

Т а б л и ц а 4.4. Третья симплексная таблица

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
	270	1	–1	1
	15080	9	–28	32
	80	–1	0	0
	150	0	1	0
	51040	–38	320	–180

Оптимальное решение отсутствует, так как в целевой строке столбцаиимеются отрицательные коэффициенты. Столбецбудет разрешающим, так как. По отношению значений коэффициентов столбца свободных членов и соответствующих коэффициентов столбцаопределяем, что разрешающим будет коэффициент, т. е.:

и на 0 не делим.

Заполняем новую таблицу согласно правилам 1–4 расчета новых коэффициентов симплексной таблицы, предварительно меняя местами переменныеи(табл. 4.5).

Т а б л и ц а 4.5. Четвертая симплексная таблица

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
	270	1	–1	1
	6440	23	4	–32
	80	–1	0	0
	150	0	1	0
	99640	142	140	180

Таким образом, оптимальное решение получено, максимум функции составляет 99640 у.д.е. при значениях переменных ;;;. Так как переменныене вошли в план или базис, их значение равно 0. Подставляем значения переменных в систему (3). Получим:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Следовательно, все условия задачи выполнены, решение получено.

В отдельных случаях среди ограничений задачи могут быть уравнения. Допустим, что в нашей задаче условие (3) имеет следующий вид: . Тогда не требуется вводить дополнительную переменную, как это сделано в системе (3). Вместов табл. 4.2 стоял бы нуль. Свободный член был бы равен 80, а коэффициент.

Наличие нуля в базисных переменных, как и отрицательных свободных членов, свидетельствует об отсутствии опорного решения. Чтобы получить опорное решение, требуется избавиться от отрицательных свободных членов и перебросить нули из базисных переменных в небазисные. Методика переброски нулей состоит в том, что в строке с нулем в базисных переменных находим по обычному правилу разрешающий элемент, т. е. по наименьшему положительному частному от деления свободного члена на коэффициент.

В нашем случае при делении свободных членов на соответствующие коэффициенты столбцакоэффициент, т. е. коэффициент, стоящий в нулевой строке, стал бы разрешающим. Выполнив преобразования по перечисленным выше правилам, мы имели бы в небазисных переменных вместонуль, а в базисных вместо нуля. После этого вычеркиваем весь нуль-столбец и продолжаем решение как обычно, но с двумя вектор-столбцами небазисных переменных.