vm1

Сарруса обчислення вектором 141

311

312

313

Змiст

Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Роздiл 1. Деякi питання теорiї множин. Декартовi координати на прямiй,

площинi та в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §1. Основнi поняття теорiї множин

та математичної логiки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1. Множини й основнi позначення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Елементи комбiнаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Квантори. Логiчнi символи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Межi числових множин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§2. Дiйснi числа. Координати точки на прямiй,

площинi та в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Поняття дiйсного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Геометричне зображення дiйсного числа.

Координати точки на прямiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Абсолютна величина дiйсного числа. Вiдстань

мiж двома точками на прямiй. Окiл точки . . . . . . . 16 2.4. Координати точки на площинi та в просторi . . . . . . . .18

2.5. Полярнi координати на площинi. Сферичнi координати в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Роздiл 2. Основи лiнiйної алгебри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §1. Елементи теорiї визначникiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1. Визначники другого й третього порядкiв . . . . . . . . . . . 29 1.2. Поняття про визначники вищих порядкiв . . . . . . . . . . .36 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

314

Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 §2. Системи лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1. Системи n лiнiйних рiвнянь з n невiдомими.

Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Однорiдна система лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3. Матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1. Основнi поняття про матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Дiї над матрицями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Обернена матриця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.4. Матричний запис i матричний розв’язок системи лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5. Власнi значення i власнi вектори матрицi . . . . . . . . . . 57 3.6. Ранг матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7. Метод Жордана-Гаусса виключення змiнних . . . . . . . 61 3.8. Теорема Кронекера-Капеллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 §4. Лiнiйнi економiчнi моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1. Застосування алгебри матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.2. Застосування систем лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3. Модель Леонтьєва багатогалузевої економiки . . . . . . .79 4.4. Лiнiйна модель торгiвлi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §5. Квадратичнi форми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

315

Роздiл 3. Елементи векторного аналiзу . . . . . . . . . . . . . . 100 §1. Вектори та лiнiйнi операцiї над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.1.Вектори на площинi та в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.2.Лiнiйнi операцiї над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.3.Кут мiж двома векторами. Проекцiя вектора на вiсь 102

1.4.Прямокутний декартiв базис. Розклад вектора

по осях координат. Дiї над векторами, заданими своїми координатами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.5.Лiнiйна залежнiсть векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.6.Подiл вiдрiзка в даному вiдношеннi . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §2. Скалярний, векторний i мiшаний добутки . . . . . . . . . . . . . . 114

2.1.Скалярний добуток двох векторiв. Косинус кута

мiж двома векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.2.Векторний добуток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.3.Мiшаний добуток трьох векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 §3. Поняття n-вимiрного евклiдового простору . . . . . . . . . . . . . 133 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Роздiл 4. Аналiтична геометрiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 §1. Лiнiї, поверхнi та їхнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 §2. Площина та пряма в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.1. Площина в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.1.1. Нормальний вектор площини. Рiзнi типи

рiвнянь площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 2.1.2. Загальне рiвняння площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

316

2.1.3. Взаємне розмiщення площин у просторi . . . . . . . 144 2.1.4. Точка перетину трьох площин . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.1.5. Вiдстань вiд точки до площини . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.2. Пряма в просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.2.1.Канонiчнi та параметричнi рiвняння прямої . . . 148

2.2.2.Рiвняння прямої, що проходить через двi точки 149

2.2.3.Кут мiж двома прямими. Умови паралельностi

й перпендикулярностi прямих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.2.4. Пряма як лiнiя перетину площин . . . . . . . . . . . . . . 151 2.2.5. Вiдстань вiд точки до прямої у просторi . . . . . . .152

2.3.Взаємне розмiщення прямої й площини у просторi . 153

2.3.1.Умови паралельностi й перпендикулярностi

прямої i площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.3.2. Перетин прямої з площиною . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.3.3. Кут мiж прямою i площиною . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 §3. Пряма на площинi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1. Нормальний вектор прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.2. Точка перетину прямих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3. Напрямний вектор прямої. Канонiчне рiвняння прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.4. Рiвняння прямої, що проходить через задану точку

в заданому напрямку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.5. Кут мiж двома прямими. Умови паралельностi й перпендикулярностi двох прямих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

3.6. Вiдстань вiд точки до прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 §4. Кривi другого порядку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

4.1. Рiвняння кривої другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 4.2. Перетворення систем координат на площинi . . . . . . .173

317

4.3. Елiпс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.4. Гiпербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 4.5. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.6. Зведення загального рiвняння лiнiї другого

порядку до найпростiшого вигляду . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 §5. Поверхнi другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.1. Сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2. Цилiндричнi поверхнi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3. Конiчнi поверхнi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.4. Поверхня обертання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205 5.5. Елiпсоїд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.6. Гiперболоїди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Роздiл 5. Елементи лiнiйного програмування . . . . . . . 216 §1. Постановка задачi лiнiйного програмування . . . . . . . . . . . 217

1.1. Приклади задач лiнiйного програмування . . . . . . . . . 218

1.2.Форми запису задачi лiнiйного програмування . . . . 222

1.3.Еквiвалентнi перетворення задач

лiнiйного програмування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 §2. Властивостi задач лiнiйного програмування . . . . . . . . . . . 232

2.1. Опуклi множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2.2. Властивостi розв’язкiв задачi лiнiйного програмування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

§3. Графiчний (градiєнтний) метод розв’язування задач лiнiйного програмування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

318

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

§4. Симплексний метод розв’язування задач лiнiйного програмування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

4.1. Алгоритм симплексного методу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245 4.2. Метод штучного базису (М-метод) . . . . . . . . . . . . . . . . .251 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 §5. Двоїстiсть (спряженiсть) у лiнiйному програмуваннi . . . 262

5.1. Поняття двоїстостi в економiчних задачах . . . . . . . . .262 5.2. Рiзнi вигляди математичних моделей двоїстих задач 265 5.3. Основнi теореми двоїстостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

5.4. Розв’язування пари двоїстих задач симплексним методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

5.5. Двоїстий симплексний метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276 Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 §6. Задачi транспортного типу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

6.1.Математична постановка транспортної задачi . . . . . 286

6.2.Побудова опорних планiв транспортної задачi . . . . . 265

6.2.1. Метод пiвнiчно-захiдного кута . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 6.2.2. Метод мiнiмальної вартостi (метод

мiнiмального елемента) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293 6.2.3. Метод подвiйної переваги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6.3. Знаходження оптимального плану транспортної задачi методом потенцiалiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Вiдповiдi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Лiтература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

319

Навчальне видання

Лавренчук Володимир Петрович Настасієв Павло Павлович Мартинюк Ольга Василівна Кондур Оксана Созонтівна

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

Підписано до друку 9.12.2009. Формат 60 х 84/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Ум.друк.арк. 17,7.

Обл.-вид. арк. 19. Зам. 50-п. Тираж 300.

Видавництво “Книги – ХХІ” Україна, 59000, м. Сторожинець, Чернівецької обл.

вул. О. Кобилянської, 7 Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 1839 від 10.06.2004 р.

Друк ПП Валь Л. О.