vm1

Вiдповiдi

1. S = 570 кг, T = 1220 год., P = 3500 гр.од. 2. 2800. 3. y1 = 28, y2 = 47, y3¡32. 4. (99,6; 81,90; 102,55). 5. x1 = 150, x2 = 250, x3 = 100.

ба збiльшити до 173,461 гр. од., а в другiй – до 206,794 гр. од.

12. x1 = 4000, x2 = 3000, x3 = 2000.

91

§5. Квадратичнi форми

Квадратичною формою f вiд n змiнних x1, x2, : : :, xn

називається алгебраїчна сума доданкiв, кожний з яких є або квадратом однiєї з цих змiнних, або добутком рiзних змiнних, взятих з деякими коефiцiєнтами.

Вважаючи, що в квадратичнiй формi f уже зведено подiбнi члени, через ajj позначимо коефiцiєнт при x2j , а через 2ajk коефiцiєнт при добутку xjxk, j 6= k. Оскiльки xjxk = xkxj, то коефiцiєнт при цьому добутку можна позначати також i через 2akj. Згiдно з цими позначеннями повиннi виконувати-

ся рiвностi ajk = akj, fj; kg ½ f1; : : : ; ng, i тодi 2ajkxjxk =

ajkxjxk + akjxkxj. Тому

З коефiцiєнтiв квадратичної форми (37) складемо матрицю

яка називається матрицею квадратичної форми. Ранг матрицi A називається рангом квадратичної форми. Зокрема, якщо r = n, тобто матриця A невироджена, то i квадратична форма називається невиродженою.

Оскiльки ajk = akj, то матриця A є симетричною, тобто її елементи симетричнi вiдносно головної дiагоналi. Очевидно, що для будь-якої симетричної матрицi A за формулою (37) можна побудувати квадратичну форму f, коефiцiєнти aij якої

то квадратичну форму (37) можна записати у виглядi

У матричному виглядi перетворення (39) запишеться так:

З’ясуємо як змiниться квадратична форма f при перетвореннi (39).

Для цього пiдставимо (40), (41) в (38):

f = Y T QT AQY = Y T (QT AQ)Y:

Введемо позначення B = QT AQ, тодi

f= Y T BY;

аце означає, що матриця B є матрицею квадратичної форми f вiд змiнних y1, y2, : : :, yn. Матриця B є симетричною, оскiльки

93

BT = (QT AQ)T = QT AT Q = QT AQ = B. Якщо матриця Q перетворення (39) невироджена, тобто jQj =6 0, то ранг матрицi B збiгається з рангом матрицi A, бо матрицi Q i QT невиродженi одночасно. Отже, ранг квадратичної форми f не змiнюється при здiйсненнi невиродженого лiнiйного перетворення (39).

Вивчимо яким повинно бути перетворення (39), щоб квадратична форма f набула вигляду

Вираз (42) називається канонiчним виглядом квадратичної форми. Зокрема, якщо ¸j 2 f¡1; 0; 1g, j 2 f1; : : : ; ng, то (42) називається нормальним канонiчним виглядом квадратичної форми.

Якщо квадратична форма (37) зведена за допомогою деякого невиродженого перетворення до канонiчного вигляду (42), то число коефiцiєнтiв ¸j, якi вiдмiннi вiд нуля, дорiвнює рангу r квадратичної форми. Справдi, оскiльки ми прийшли до (42) за допомогою невиродженого перетворення, то, як вiдзначено вище, квадратична форма (42) має ранг r. Очевидно, що матриця квадратичної форми (42) має вигляд

00 : : : ¸n

Її ранг визначається числом вiдмiнних вiд нуля елементiв, що стоять на головнiй дiагоналi, а тому цих елементiв, тобто ¸j, повинно бути саме r.

Можна довести, що будь-яку квадратичну форму (37) можна звести за допомогою деякого невиродженого перетворення (39) до канонiчного вигляду (42). При цьому кiлькiсть додатних i вiд’ємних ¸j в (42) не залежить вiд вибору невиродженого перетворення (39) (закон iнерцiї квадратичної форми).

94

Розглянемо один iз методiв зведення квадратичної форми до канонiчного вигляду, який називається методом Лагранжа видiлення повних квадратiв.

Нехай у квадратичнiй формi (37) всi доданки з квадратами змiнних вiдсутнi, тобто ajj = 0, j 2 f1; : : : ; ng, але принаймнi один з коефiцiєнтiв ajk =6 0. Для зручностi вважатимемо, що, наприклад, a12 =6 0. Це означає, що в квадратичнiй формi є

доданок 2a12x1x2. Перейдемо до нових змiнних y1, y2, : : :, yn за допомогою невиродженого перетворення:

x1 = y1 ¡ y2 x2 = y1 + y2;

xj = yj; j 2 f3; : : : ; ng:

Тодi вираз 2a12x1x2 набуде вигляду

2a12x1x2 = 2a12(y1 ¡ y2)(y1 + y2) = 2a12y12 ¡ 2a12y22:

Отже, в квадратичнiй формi з’явилися члени з y12 i y22. Тому надалi можна вважати, що в квадратичнiй формi обов’язково є доданки з квадратами змiнних.

Нехай, наприклад, в квадратичнiй формi (37) коефiцiєнт a11 6= 0. Розглянемо частину квадратичної форми f, яка мiстить змiнну x1, тобто

f1 = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + : : : + 2a1nx1xn:

Доповнимо цей вираз до повного квадрата:

f1 = a1 (a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn)2 ¡ ®;

11

де ® є алгебраїчною сумою доданкiв, якi не мiстять змiнної x1. Якщо зробити невироджене лiнiйне перетворення

y1 = a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn;

yj = xj; j 2 f2; : : : ; ng;

95

то квадратична форма f у змiнних y1, y2, : : :, yn набуде вигляду

де a0jk – деякi новi коефiцiєнти при добутках yjyk. Аналогiчно, як i в попередньому випадку, органiзуємо повний квадрат вiдносно змiнної y2 в f2 i т.д.У результатi дiстанемо канонiчний

вигляд квадратичної форми.

Приклад 1. Звести квадратичну форму

f = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

до канонiчного вигляду.

J Запишемо квадратичну форму у виглядi

f= (x21 + 4x1x2 + 2x1x3) + x22 + 3x23 + 2x2x3 =

=(x1 + 2x2 + x3)2 ¡ 4x22 ¡ x23 ¡ 4x2x3 + x22 + 3x23 + 2x2x3 =

= (x1 + 2x2 + x3)2 ¡ 3x22 + 2x23 ¡ 2x2x3:

Вираз 2x23 ¡ 3x22 ¡ 2x2x3 не мiстить змiнної x1. Утворимо повний квадрат вiдносно змiнної x3. Тодi одержимо, що

f = (x1+2x2+x3)2+2(x23¡x2x3)¡3x22 = (x1+2x2+x3)2+2(x3¡12x2)2¡12x22¡3x22 =

96

Очевидно, що це перетворення невироджене, бо jQj = ¡1 =6 0. Воно зводить квадратичну форму до канонiчного вигляду

f = y12 + 2y22 ¡ 72y32:

Оскiльки є три повнi квадрати у канонiчнiй формi, то форма f

є невиродженою. I

Приклад 2. Звести до канонiчного вигляду квадратичну фор-

му

f = 2x1x2 ¡ 6x2x3 + 2x1x3:

J Оскiльки у данiй формi вiдсутнi квадрати, то зробимо таке невироджене перетворення

8

< x1 = y1 + y2;

:x2 = y1 ¡ y2; x3 = y3:

Тодi матимемо

f = 2y12 ¡2y22 ¡6y1y3 +6y2y3 +2y1y3 +2y2y3 = 2y12 ¡2y22 ¡4y1y3 +8y2y3:

Органiзуємо повний квадрат вiдносно змiнної y1. Тодi одержимо,

що

f= 2(y12 ¡ 2y1y3) ¡ 2y22 + 8y2y3 = 2(y1 ¡ y3)2 ¡ 2y32 ¡ 2y22 + 8y2y3:

Далi утворимо повний квадрат вiдносно змiнної y2:

f = 2(y1 ¡ y3)2 ¡ 2(y22 ¡ 4y2y3) ¡ 2y32 = 2(y1 ¡ y3)2 ¡ 2(y2 ¡ 2y3)2 + 6y32:

Тепер зробимо замiну змiнних

8

< z1 = y1 ¡ y3;

:z2 = y2 ¡ 2y3; z3 = y3:

Тодi дiстанемо, що квадратична форма набула канонiчного вигляду

f = 2z12 ¡ 2z22 + 6z32:

97

Знайдемо перетворення, яке звело квадратичну форму до цього

Оскiльки jQj = ¡2 6= 0, то перетворення невироджене. Квадратична форма так само невироджена, бо її канонiчний вигляд мiстить квадрати всiх змiнних.

Легко можна перевiрити, що квадратична форма зводиться до канонiчного вигляду

f = 2z12 + 6z22 ¡ 8z32

за допомогою невиродженого лiнiйного перетворення

8

< x1 = z1 + 3z2 + 2z3;

:x2 = z1 ¡ z2 ¡ 2z3; x3 = z3:

Уцьому новому канонiчному виглядi, як i в попередньому, є два додатних ¸j та одне вiд’ємне, що й має бути згiдно iз законом iнерцiї квадратичної форми. I

Квадратичну форму називають додатно-визначеною (вiд’ємно-визначеною), якщо для довiльних значень x1, x2,

:: :, xn, з яких принаймнi одне не дорiвнює нулю, квадратична форма f набуває додатних (вiд’ємних) значень.

Обидва цi випадки об’єднують пiд спiльною назвою знаковизначенi квадратичнi форми.

Якщо квадратична форма f має як додатнi, так i вiд’ємнi значення, то її називають знакозмiнною.

98

Роздiл 3 Елементи векторного аналiзу

§1. Вектори та лiнiйнi операцiї над ними

1.1. Вектори на площинi та в просторi. При вивченнi рiзних явищ i процесiв зустрiчаються величини, якi повнiстю визначаються заданням їхнiх числових значень. Такi величини називаються скалярними. Скалярними величинами є, наприклад, довжина, площа, маса, температура i т.п. Крiм скалярних величин, у рiзних задачах зустрiчаються величини, для визначення яких, крiм числового значення, необхiдно знати також їхнiй напрямок у просторi або на площинi. Такi величини називаються векторними. Векторнi величини зображуються за допомогою векторiв.

Векторними величинами, наприклад, є сила, що дiє на тiло, швидкiсть i прискорення тiла при його русi в просторi, напруженiсть магнiтного поля в данiй точцi i т.д.

Вектором називається напрямлений вiдрiзок у просторi або на площинi, у якого одна з його обмежуючих точок береться за початок, а друга – за кiнець. Якщо A – початок вектора, а

¡¡!

B – його кiнець, то вектор позначається символом AB. Вектор

¡!

позначатимемо також i символом a .

¡¡! ¡¡!

Довжиною (модулем) jABj вектора AB називається

число, що дорiвнює довжинi вiдрiзка AB, який зображає цей

¡!

вектор. Якщо вектор позначено через a , то його модуль по-

¡!

значається символом j a j.

Вектор, у якого кiнець збiгається з початком, називається

¡!

нульовим i позначається 0 . Нульовий вектор не має певного

¡!

напрямку, а його модуль j 0 j = 0.

¡! ¡!

Вектори a i b , якi лежать на однiй прямiй або на пара-

лельних прямих, називаються колiнеарними. Якщо ж вектори в просторi лежать на однiй площинi або на паралельних площинах, то вони називаються компланарними.

¡! ¡!

Два вектори a i b називаються рiвними, якщо вони: 1)

мають однаковi модулi; 2) колiнеарнi; 3) напрямленi в один бiк.