vm1

J Нехай (x1; x2; :::; xn) розв’язок системи (10). Для того щоб знайти його складову xj, домножимо перше рiвняння на A1j,

друге – на A2j i так далi, n-е рiвняння – на Anj, де A1j, A2j,

..., Anj – алгебраїчнi доповнення елементiв j-го стовпчика, i додамо цi рiвняння. Тодi одержимо вираз

(a11A1j+a21A2j+:::+an1Anj)x1+(a12A1j+a22A2j+:::+an2Anj)x2+

+ : : :+(a1jA1j+a2jA2j+:::+anjAnj)xj+:::+(a1nA1j+a2nA2j+:::+

Коефiцiєнт при невiдомому xj є сумою добуткiв елементiв j-го стовпчика визначника ¢ на вiдповiднi їм алгебраїчнi доповнення i, згiдно з властивiстю 4 визначникiв, дорiвнює визначнику ¢. Коефiцiєнти при всiх iнших невiдомих є сумами добуткiв елементiв усiх стовпчикiв, крiм j-го, на алгебраїчнi доповнення елементiв j-го стовпчика i, у вiдповiдностi з властивiстю 4 визначникiв, дорiвнюють нулю. Вираз у правiй частинi (12) є ¢j, а тому (12) набуває вигляду

звiдки випливають рiвностi (11), якi називаються формулами Крамера.

Отже, ми довели, що коли (x1; x2; :::; xn) є розв’язком системи (10), то числа xj, j 2 f1; :::; ng, визначаються формулами (11).

Навпаки, сукупнiсть чисел xj, j 2 f1; :::; ng, якi визначаються формулами (11), є розв’язком системи (10). Справдi, пiдставляючи цi xj, j 2 f1; : : : ; ng, у лiву частину k-го рiвняння, k 2 f1; :::; ng, системи (10), згiдно з властивiстю 4 визначника, одержимо

:3x1 ¡ 5x2 + 3x3 = 1; 2x1 + 7x2 ¡ x3 = 8:

Оскiльки визначник системи не дорiвнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера:

43

x1 = ¢¢1 = 3333 = 1; x2 = ¢¢2 = 3333 = 1; x3 = ¢¢3 = 3333 = 1:

Вiдповiдь: (1; 1; 1). I

Iстотним недолiком розв’язування систем n лiнiйних рiвнянь з n невiдомими за формулами Крамера є велика трудомiсткiсть при обчисленнi визначникiв. Тому цей метод застосовувати на практицi для розв’язування реальних прикладних задач не завжди доцiльно. Значно швидше можна розв’язати систему лiнiйних рiвнянь методом послiдовного виключення невiдомих (методом Жордана–Гаусса), який буде розглянуто пiзнiше.

2.2. Однорiдна система лiнiйних рiвнянь. Розглянемо систему рiвнянь вигляду

8

> a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = 0;

>

< a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = 0; (14)

> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

: an1x1 + an2x2 + ::: + annxn = 0;

яка називається однорiдною. Очевидно, що система (14) завжди має нульовий (тривiальний) розв’язок (0; 0; : : : ; 0). З’ясуємо, коли ця система має ненульовi (нетривiальнi) розв’язки.

Теорема 2. Якщо визначник ¢ однорiдної системи (14) не дорiвнює нулю, то вона має лише тривiальний розв’язок.

J Оскiльки всi ¢j, j 2 f1; :::; ng, дорiвнюють нулю, бо мiстять нульовий стовпчик, то згiдно з теоремою 1 (формули

(11)) xj = 0, j 2 f1; :::; ng. I

Якщо ж система (14) має нетривiальний розв’язок, то її визначник ¢ дорiвнює нулю. Це випливає з того, що коли б ¢ =6 0, то згiдно з теоремою 2, єдиним розв’язком системи (14) був би нульовий. Отже, ненульовi розв’язки система (14) має тодi й тiльки тодi, коли ¢ = 0.

Приклад 3. Розв’язати систему

8

< x1 ¡ x2 + 2x3 = 0;

: 2x1 + x2 ¡ x3 = 0; 3x1 ¡ 2x2 + x3 = 0:

44

то система має лише єдиний розв’язок (0; 0; 0). I Приклад 4. Розв’язати систему

8

< 2x1 + 3x2 ¡ x3 = 0;

:4x1 + 6x2 ¡ 2x3 = 0; 3x1 ¡ x2 + 2x3 = 0:

½2x1 + 3x2 ¡ x3 = 0; 3x1 ¡ x2 + 2x3 = 0:

Ми вiдкинули друге рiвняння, оскiльки воно одержується з першого

Отже, загальним розв’язком системи є x1 = ¡5t, x2 = 7t, x3 = 11t, t 2 R. I

45

Приклад 5. Спiвiснування бактерiй. Три види бактерiй спiвiснують в пробiрцi й споживають три субстрати. Вiдомо, що в середньому бактерiя i-го виду споживає в день aij одиниць j-го субстрату, fi; jg ½ f1; 2; 3g, а кожного дня в пробiрку подають hj одиниць j-го субстрату. Знайти кiлькiсть популяцiй трьох видiв бактерiй, якi можуть iснувати у даному середовищi, якщо вважати, що бактерiї споживають весь запас субстратiв.

Розв’язати задачу для випадку, коли матриця A = (aij) має

но через x1, x2, x3. Тодi матимемо таку систему

8

< a11x1 + a12x2 + a13x3 = h1;

:a21x1 + a22x2 + a23x3 = h2; a31x1 + a32x2 + a33x3 = h3:

Для нашого конкретного випадку – це система вигляду

8

< x1 + x2 + x3 = 15000;

:x1 + 2x2 + 3x3 = 30000; x1 + 3x2 + 5x3 = 45000:

Якщо вiд другого й третього рiвнянь вiдняти перше, то одержимо рiвносильну систему

8

< x1 + x2 + x3 = 15000;

: x2 + 2x3 = 15000; 2x2 + 4x3 = 30000;

:x2 + 2x3 = 15000;

46

Загальна кiлькiсть спiвiснуючих популяцiй бактерiй складає 15000, а кiлькiсть бактерiй кожного з видiв дорiвнює вiдповiдно x1 = x3 i x2 = 15000 ¡ x1, якщо вони споживають всi субстрати. I

:4x + 9y + 16z = 11:

2.Визначити, при яких значеннях a i b система рiвнянь

½3x ¡ ay = 1;

6x + 4y = b

1)має єдиний розв’язок; 2) не має розв’язкiв; 3) має безлiч

розв’язкiв? ½ kx + y = 0; 3. При яких значеннях k однорiдна система x + ky = 0

має ненульовi розв’язки?

4. Визначити, для яких значеннях a i b система рiвнянь

8

< 3x ¡ 2y + z = b;

5x ¡ 8y + 9z = 3; : 2x + y + az = ¡1

1) має єдиний розв’язок; 2) невизначена; 3) несумiсна?

47

спiвiснувати у даному середовищi, якщо вважати, що бактерiї споживають весь даний запас субстратiв, у випадку, коли матрицi A та

Вiдповiдi

1. 1) (16; 7); 2) x = 1 + yp3, y 2 R; 3) x = 2, y = 3, z = 4; 4) несумiсна; 5) x = ¡2t, y = 7t, z = 4t, t 2 R; 6) x = y = z = 0; 7) x = 2t, y = ¡3t, z = 5t, t 2 R; 8) (1; 3); 9) (1; ¡1; 1). 2. 1) a =6 ¡2; 2) a = ¡2, b 6= 2; 3) a = ¡2, b = 2. 3. k = §1. 4. Якщо a 6=

¡3, то система має єдиний розв’язок; при a = ¡3; b 6= 13 система несумiсна; при a = ¡3, b = 1=3 система має безлiч розв’язкiв. 5. a =

2) (1; 2; 3). 9. 1) x1 = 10000+x3, x2 = 10000¡2x3, 0 · x3 · 5000.

48

§3. Матрицi

3.1. Основнi поняття про матрицi. Таблиця з чисел aij, i 2 f1; : : : ; mg, j 2 f1; : : : ; ng, вигляду

називається матрицею порядку (розмiру) m £ n.

При цьому числа aij, i 2 f1; : : : ; mg, j 2 f1; : : : ; ng, називаються елементами матрицi. Елементи з однаковими першими

iндексами утворюють рядки, а з однаковими другими iндексами – стовпчики матрицi. Якщо m = n, то матрицю називають

квадратною n-го порядку. Якщо ж m 6= n, то – прямокутною.

У випадку, коли n = 1 матрицю A порядку m £ 1 називають одностовпчиковою або матрицею-стовпчиком, або

а при m = 1, тобто матрицю порядку 1 £ n називають одно-

рядковою, або матрицею-рядком, або вектором-рядком

¡ a11 a12 : : : a1n ¢:

Множина елементiв a11, a22, ¢ ¢ ¢, ann квадратної матрицi n- го порядку утворює головну дiагональ, а множина елементiв

a1n, a2;n¡1, a3;n¡2, ¢ ¢ ¢, an1 – побiчну дiагональ. Якщо у квадратнiй матрицi всi елементи, крiм елементiв головної дiагоналi

дорiвнюють нулю, то таку матрицю називають дiагональною

У випадку, коли b1 = b2 = : : : = bn = 1, дiагональну матрицю називають одиничною i позначають її буквою E або I:

Якщо маємо квадратну матрицю n-го порядку

то для неї iснує визначник, який позначатимемо символом jAj або det A. У випадку, коли jAj 6= 0, матриця називається невиродженою, а при jAj = 0 – виродженою.

Приклад 1. З’ясувати, чи є виродженою матриця:

Транспонованою щодо матрицi A називають матрицю AT , утворену з матрицi A замiною рядкiв однаковими за номером стовпчиками. Матрицю A називають симетричною,

50