vm1

1). Поверхня, яка визначається рiвнянням

є цилiндричною i називається елiптичним цилiндром. Її твiрнi паралельнi осi Oz, а напрямною є елiпс з напiвосями a i b, що лежить в площинi Oxy. Зокрема, коли a = b, то напрямною є коло, а поверхня є прямим круговим цилiндром.

Його рiвняння

x2 + y2 = a2:

2). Цилiндрична поверхня, яка визначається рiвнянням

називається гiперболiчним цилiндром. Твiрнi цiєї поверхнi паралельнi осi Oy, а напрямною є розмiщена в площинi Oxz гiпербола з дiйсною пiввiссю a i уявною пiввiссю b.

201

3). Цилiндрична поверхня, яка визначається рiвнянням

y2 = 2pz;

називається параболiчним цилiндром. Її напрямною є парабола, яка лежить в площинi Oyz, а твiрнi паралельнi осi Ox.

Зауваження 1. Криву в просторi можна задати за допомогою рiвнянь рiзних поверхонь, якi перетинаються по цiй кривiй.

202

Наприклад, коло, що одержується при перерiзi площиною z = 3 сфери x2 + y2 + z2 = 25, визначається системою рiвнянь

½z = 3;

x2 + y2 + z2 = 25:

Це саме коло можна одержати як лiнiю перетину площини z = 3 i прямого кругового цилiндра x2 + y2 = 16, тобто визначити

Надалi, дослiджуючи форму тiєї або iншої поверхнi за допомогою перерiзiв, ми користуватимемося цилiндричними поверхнями, якi проектують цi перерiзи на координатнi площини. Це дозволяє робити певнi висновки про розмiри i форму цих перерiзiв, а отже, i про форму поверхнi, що вивчається.

5.3. Конiчнi поверхнi. Поверхня, яка складена з усiх прямих, що перетинають задану лiнiю L i проходять через задану точку P , називається конiчною поверхнею. При цьому лiнiя L називається напрямною конiчної поверхнi, точка P – її вершиною, а кожна з прямих, що утворюють конiчну поверхню, – твiрною.

Як приклад розглянемо конiчну поверхню з вершиною у початку координат, для якої напрямною L є елiпс

8

< Z = c;

:Xa22 + Yb22 = 1

зпiвосями a i b, що лежить в площинi Z = c. Ця поверхня називається конусом другого порядку. Для зручностi змiннi координати точок елiпса позначатимемо великими лiтерами X, Y , Z, а змiннi координати точок конiчної поверхнi – через x, y, z. Виведемо рiвняння конуса другого порядку.

203

Розглянемо довiльну точку M(x; y; z) конiчної поверхнi i проведемо через неї твiрну OM, що перетинається з напрямною в точцi M0(X; Y ; c). Рiвняння прямої OM, що проходить через

Одержане рiвняння є рiвнянням конуса другого порядку. Зокрема, якщо a = b, то напрямною є коло

½Z = c;

X2 + Y 2 = a2;

204

а поверхня є прямим круговим конусом. Його рiвняння

5.4. Поверхня обертання. Нехай лiнiя L, що лежить на площинi Oyz, задана рiвняннями

Розглянемо поверхню, утворену обертанням цiєї лiнiї вiдносно осi Oz. Ця поверхня називається поверхнею обертання. Знайдемо її рiвняння. Нехай M(x; y; z) – довiльна точка

205

поверхнi обертання. Проведемо через точку M площину, перпендикулярну до осi Oz, i позначимо точки перетину цiєї площини з вiссю Oz i кривою L вiдповiдно через K i N. Вiдрiзки KM i KN є радiусами одного й того самого кола, а тому

Z точки N дорiвнює координатi z точки M.

Оскiльки точка N лежить на лiнiї L, яка визначена рiвнянням (86), то координати Y i Z точки N задовольняють друге

яке задовольняє координати довiльної точки M(x; y; z) поверхнi обертання. Отже, рiвняння (87) є рiвнянням поверхнi обертання вiдносно осi Oz лiнiї L, що визначається рiвнянням (86). Очевидно, що рiвняння (87) одержується з другого рiвняння

Зауваження 2. Вище розглянуто випадок, коли крива L задана в площинi Oyz i обертається вiдносно осi Oz. Очевидно, що крива L може лежати i в iншiй координатнiй площинi та

обертатися вiдносно iншої координатної осi.

Приклад 2. Знайти рiвняння поверхнi обертання елiпса

206

називається елiпсоїдом. Числа a, b i c називаються пiвосями елiпсоїда. Оскiльки в рiвняння змiннi координати входять у парних степенях, то елiпсоїд симетричний вiдносно координатних площин. Для того щоб визначити форму елiпсоїда, перерiжемо його площинами, паралельними координатним площинам.

Якщо перерiзати елiпсоїд площиною z = h (jhj < c), то одержимо елiпс L. Справдi, виключаючи з рiвнянь

8

< z = h;

:x2 + y2 + z2 = 1 a2 b2 c2

змiнну z, дiстанемо рiвняння цилiндричної поверхнi, яка проектує перерiз L на площину Oxy:

Звiдси одержуємо, що iз зростанням jhj пiвосi елiпса a1 i b1 зменшуються. При jhj = c маємо, що a1 = 0, b1 = 0 i перерiз вироджується в точку. При jhj > c елiпсоїд з площиною z = h не має спiльних точок. Аналогiчно можна довести, що при перерiзi елiпсоїда площинами x = h (jhj < a) i y = h (jhj < b) так само матимемо елiпси.

Iз загального рiвняння елiпсоїда при a = b маємо елiпсоїд обертання

Наприклад, в геодезiї вважають, що поверхня Землi є елiпсоїдом обертання з пiвосями a = b = 6377 км i c = 6356 км.

Якщо a = b = c, то елiпсоїд перетворюється в сферу x2 + y2 + z2 = a2.

5.6. Гiперболоїди. Поверхня, яка визначається рiвнян-

називається однопорожнинним гiперболоїдом. Координатнi площини є площинами симетрiї цiєї поверхнi, оскiльки змiннi координати x, y i z входять в рiвняння у парних степенях.

Перерiз однопорожнинного гiперболоїда площиною y = 0

яка лежить в площинi Oyz.

Якщо перерiзати однопорожнинний гiперболоїд площиною z = h, то одержимо елiпс, рiвняння якого має вигляд

rr

зростанням абсолютної величини h. При h = 0 дiстанемо елiпс,

який лежить в площинi Oxy i має найменшi пiвосi a i b.

При a = b дiстанемо однопорожнинний гiперболоїд

При перерiзi його площинами z = h одержуємо елiпси.

У попереднiх пунктах розглядалися цилiндричнi та конiчнi поверхнi, кожна з яких складена з прямих. Виявляється, що однопорожнинний гiперболоїд можна розглядати як поверхню, що складена також з прямих лiнiй. Розглянемо пряму, яка визначається рiвняннями

де a, b i c – пiвосi однопорожнинного гiперболоїда, а k =6 0 – довiльне число. Якщо перемножити почленно цi рiвняння, то дiстанемо

тобто рiвняння однопорожнинного гiперболоїда. Це означає, що координати будь-якої точки M(x; y; z), якi задовольняють рiвняння прямої (90), задовольняють так само рiвняння однопорожнинного гiперболоїда. Iншими словами, всi точки прямої (90) належать так само i гiперболоїду (89). Якщо змiнювати k у (90), то одержимо сiм’ю прямих, якi лежать на поверхнi (89). Аналогiчно можна довести, що однопорожнинному гiперболоїду належать всi прямi сiм’ї