Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vm1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Використовуючи властивостi векторного добутку i рiвностi (27) – (30), дiстанемо

b ] = [(x i + y

j + z

k ); (x

i + y

j + z

k )] =

[ a ; ¡!

1¡!

!¡

¡!

2¡!

¡!

j ; i ] + z x [ k ; i ] + x y

[ i ; j ]+

= x1x2[¡!i ; ¡!i ] + y1x2[¡! ¡!

1 2

¡!

1 2

¡! ¡!

j ; j ] + z

[ k ; j ] + x

[ i ; k ] + y z [ j ; k ]+

+y1y2[¡! ¡!

¡!

!¡

¡!

k ; k ] = y x (

k ) + z

j + x

k + z

(

i )+

+z1z2[¡! ¡!

1 2

¡¡!

2¡!

!¡

¡!¡

j )+y

i = (y z z

) i (x z

) j +(x y

y x ) k :

+x1z2(¡¡!

2!¡

1 2¡

¡!¡

2¡

¡!

2¡ 1 2

!¡

Рiзницi, якi стоять в дужках, є визначниками другого по-

рядку. Тому

a ; b ] =

y1 z1

x1 z1

j +

x1 y1

k :

[¡!

!¡

y2 z2

¡! ¡

x2 z2

¡!

x2 y2

¡!

Одержаний вираз,¯

згiдно¯

з властивiстю¯ ¯

про¯

розклад¯

визнач-

ника третього порядку за елементами першого рядка, можна

остаточно записати у виглядi

a ; b ] =

¡!i

!¡

¡!

(31)

x1 y1

[!¡ ¡!

Приклад 5. Обчислити

b ]

, якщо¯

= 10

= 2

¯[ a ; ¡!

j!¡ j

¡!

b = 12

!¡

a ¡!

a b =

cos ®

¡!

, де

– кут мiж

J Скористаємося формулою ¡!¡!

j!¡ j j¡!j

векторами ¡! i

¡!. Тодi

¡!

cos ® =

¡!

;

¡!

j¡!j j

а тому sin ® = p1 ¡ cos2 ® = r1 ¡

. Згiдно формулою (24)

маємо

[ a ; b ]

= 10

= 16:

j ¡!

¡! j

[ a +

Приклад 6. Вектори ¡! i

¡! перпендикулярнi. Знайти

j ¡!

b ; a

b ]

a = 3

b = 4

¡!

!¡

¡! , якщо

¡!

121

J Згiдно з властивостями векторного добутку маємо

[ a + ¡!

¡! ¡

¡!

!¡ ¡! ¡ ¡!

!¡

¡!

!¡ ¡!

¡ ¡!

¡!

[ b ; b ] =

b ; a

b ] = [ a ; a ]

[ a ; b ] + [ b ; a ]

2[ a ; b ]:

Тому

[ a + ¡!

¡!

j !¡

¡!

j ¡

¡!

b ]

= 2

b ; a

2[ a ; b ]

[ a ; b ]

= 2

¡!

j¡!j j

j ¢

sin 90

= 2

4 = 24:

Приклад 7. Довести, що вектори

a = [ p ; n ], ¡!

¡! !¡

!¡

!¡ ¡!

c = [ r ; n ]

= [ q ; n ]

p q r n

¡! !¡

¡! компланарнi для будь-яких векторiв ¡!,

¡!, ¡!, ¡!.

¡!

1). Якщо n = ¡!, то згiдно з означенням векторного добутку

¡!

b = c = 0

є компланарними.

a = ¡!

¡!, а тому вектори

, !¡ i

¡! 6

2). Якщо ж n = ¡!, то зведемо всi вектори до спiльного початку

¡!

O. Вектори

a , ¡!,

перпендикулярнi до вектора

, що випливає

з умови 2) означення векторного добутку. Тому вони лежать в пло-

щинi, яка проходить через точку O, перпендикулярно до вектора ¡!.

Отже, вектори

¡!

компланарнi й в цьому випадку.

a , ¡! i

Приклад 8. Знайти координати векторного добутку [2¡!

¡! !¡

, якщо ¡!

, ¡!

¡ .

= (3;

b ; b ]

b = (1; 2;

!¡

Знайдемо спочатку координати вектора 2 a + ¡!. Маємо

2 a + !¡

¡!

= 2(3;

2) + (1; 2;

1) = (7; 0;

5):

Тодi

¡!

¯¡

¡1

[2¡! !¡ ¡!

7 0

= !¡i

¡1

+ b ; b ] =

¡¡!

¡!

¡! !¡

¡!

¡1

1 2

або

= 10 i + 2 j + 14 k

[2 a + !¡ ¡!

¡!

b ;

b ] = (10; 2; 14):

Приклад 9. Вектор ¡!, перпендикулярний до векторiв ¡!

(4;

(0; 1; 3)

, утворює з вiссю

тупий кут. Знайти

3) i ¡!

= 26

координати вектора !¡ , якщо j¡!j

!¡

Оскiльки вектор

!¡

c перпендикулярний до векторiв a i ¡!, то

вiн перпендикулярний i до площини, утвореної цими векторами.

122

¡!

b ]

Векторний добуток [ a ; ¡!

, згiдно з означенням, так само перпен-

дикулярний до цiєї площини, а тому вектори

¡!

b ]

i [ a ; ¡! колiнеарнi,

¡!

b ]

тобто c

= ¸[ a ; !¡

, де

– деякий коефiцiєнт.

Очевидно, що

!¡i

¡!

!¡

[¡! ¡!

!¡ ¡

¡! ¡!

4 ¡2 ¡3

a ; b ] =

= 3 i

12 j + 4 k ;

а тому

j[¡!

!¡ j

(¡3)

+ (¡12)

+ 4

= 13:

a ; b ] =

j!¡ j

j j ¡!

¡!

!¡

b ]

[ a ; b ]

, тобто

З рiвностi c = ¸[ a ; ¡!

випливає, що

!¡

26 = j¸j ¢ 13 або j¸j = 2. Отже, ¸1 = 2, а ¸2 = ¡2. Тому маємо два

= 2(

12; 4) = (

24; 8)

12; 4) =

вектори !¡ 1

¡ ¡

i !¡

¡ ¡

тупий кут,

(6; 24; 8). Згiдно з умовою вектор ¡! утворює з вiссю

¡!

j < 0

¡!

1 + 8

0 =

24 < 0

j = 6

а тому

c ¡!

. Оскiльки

!¡

. I

, то

шуканим вектором є

¡!

¡!1

= (

c =

24; 8)

Приклад 10. Вершини трикутника знаходяться в точках A(1; ¡1; 2), B(5; ¡6; 2) i C(1; 3; ¡1). Знайти довжину висоти, опуще-

ної з вершини B на сторону AC.	5; 0)	AC = (0; 4;		3)
AB = (4;			¡		. Їхнiй
J Розглянемо вектори ¡¡!	¡	i ¡!

векторний добуток

	¯	¡!i	¡!
	¯	0	4
[¡¡! ¡!	¯		j
[¡¡! ¡!	¯	4	¡5
	¯
AB; AC] =
	¯
	¯

¡!		¯
	3	¯
k		¯	= 15!¡i + 12¡!	¡!
0		¯	= 15!¡i + 12¡!	¡!
¡		¯	j	+ 16 k :
		¯
		¯

Оскiльки модуль векторного добутку дорiвнює площi паралело-

грама, побудованого на векторах ¡¡! i

¡!, то площа трикутника

AB; AC]

152 + 122 + 162

. З iншого

ABC S4ABC =12j[¡¡! ¡! j

боку, S4ABC =

2j¡¡!j j¡!j, а тому

BD AC

2 ¢

252

2S¢ABC

j¡¡!j

j¡!j

+ 4

+ (

2 = 5 = 5:

Отже, висота дорiвнює 5. I

прикладена

до точки

Приклад

11. Сила

¡!

(3; 2;

M(2; ¡1; 1). Знайти момент цiєї сили вiдносно початку координат

O(0; 0; 0).

123

¡!

J Вiдомо, що моментом сили F вiдносно початку координат є векторний добуток

¡!

[OM; F ] =

¡¡! ¡!

¡!

!¡

3 4

¡!

+ k

= 2 i + 11 j + 7 k :

2.3. Мiшаний добуток

трьох векторiв. Нехай зада-

но

впорядковану трiйку

векторiв

( a ; b ; c )

. Знайдемо

спо-

¡!

чатку векторний добуток

[ a ; b ]

c¡!

!¡

, а потiм скалярний добуток

цього вектора на вектор

[ a ; b ] c

. Одержане число

, тобто

¡!

!¡

¡!

[ a ; b ] c

!¡

¡!

називається мiшаним добутком векторiв

, ¡! i

¡!

!¡

Розглянемо геометричний змiст мiшаного добутку векторiв.

b ] c

дорiвнює об’єму па-

Теорема. Мiшаний добуток [ a ; ¡!

¡!

!¡

ралелепiпеда, побудованого на зведених до спiльного початку

b ; c )¡!

¡!

( a ; b ; c )

векторах a , !¡

, взятому iз знаком плюс, якщо трiйка

¡!

!¡

¡!

права, i зi знаком мiнус, якщо трiйка

¡!

( a ;

¡!

лiва. Якщо ж вектори

a , !¡ i

компланарнi, то

¡!

дорiвнює нулю.

!¡

Якщо вектори a

i ¡! колiнеарнi, то в цьому випадку

вектори

¡!

компланарнi, оскiльки серед трьох неком-

a , ¡! i

планарних векторiв не можу бути двох колiнеарних векторiв.

	b ] = 0	¡![ a ; b ] c
Для двох				b	векторний		добуток
		колiнеарних векторiв a i ¡!
¡!	¡!	, тому i мiшаний добуток	!¡	¡!	!¡	дорiвнює нулю.
[ a ;
						!¡		b
	Залишилося розглянути випадок, коли вектори a							i ¡! не

колiнеарнi. Позначимо через S площу паралелограма, побудо-

		b ]		!¡	b
ваного на зведених до спiльного початку векторах				a	i ¡!, а
!¡	!¡	¡! .		b ] = S e
через e	– орт векторного добутку [ a ;	¡! .	¡!		!¡
		¡!			!¡
У попередньому пунктi доведена формула [ a ;						.

За допомогою цiєї формули i властивостi скалярного добутку одержуємо, що

[ a ;

!¡

¡!

!¡ ¡!

¡!!¡

¡!

пр

!¡

пр

¡!

= S

b ] c

= (S e ) c

= S( e c ) = S

¡!

!¡

c : (32)

124

Спочатку припустимо, що вектори

не компла-

a ; ¡!

¡!

па-

нарнi. Тодi пр e ¡! з точнiстю до знака дорiвнює висотi

¡!

ралелепiпеда, побудованого на зведених до спiльного початку

векторах

, за умови, що основою є паралелограм,

a , ¡!

¡!

побудований на векторах

a i ¡! (рис. 7).

¡!

Отже, з точнiстю до зна-

ка, права частина (32) дорiв-

¡!

нює об’єму V , побудованого

8 e

¡!

на векторах

пара-

¡!

Рис. 7

лелепiпеда. Залишилося ви-

¡!

яснити знак.

= +h

Очевидно, що пр e

¡!

, якщо вектори ¡! i ¡! лежать

¡!

по один бiк вiд площини, яка визначається векторами

i ¡!,

c =

¡!

i пр e ¡!

, якщо вектори ¡! i ¡! лежать по рiзнi боки вiд

¡!

= +h

вказаної площини. Це означає, що пр e

¡!

, якщо трiйки

( a ;

b ; c )

( a ; b ; e )

¡!

c = h

¡!

однаково орiєнтованi, i пр

¡!

якщо вказанi трiйки протилежної орiєнтацiї. Оскiльки трiйка

( a ;

b ;

c )

є правою, то

¡!

+h;

якщо ( a ;

b ;

c )

;

¡!

– права трiйка

пр e

¡!

(

¡!

a ;

b ;

c )

– лiва трiйка

якщо (¡!

¡!

Якщо пiдставити це значення пр e ¡! у праву частину рiв-

ностi (32), то дiстанемо,

!¡

або [ a ;

¡!

!¡

¡!

[ a ; b ] c =

b ] c = V;

що й треба було довести.

!¡

¡!

Якщо ж вектори

¡!

компланарнi, то вектор

ле-

a , ¡! i

¡!

b ] c

= 0

жить в площинi, що визначається векторами a i ¡!. Звiдси вип-

ливає, що пр

¡!

c = 0, i згiдно з формулою (32) [ a ;

Отже, теорема доведена. I.

Наслiдок 1. Для мiшаного добутку правильна рiвнiсть

				[ a ;	!¡		¡!	¡!	¡!	¡!
				¡!			¡!	¡!		¡!
						b ] c = a [ b ; c ]:
J З переставної властивостi скалярного добутку випливає,
!¡		¡!		!¡ ¡!
	b ; c ] = [ b ; c ] a					. Тому досить довести правильнiсть
що a [¡!			¡!			. Тому досить довести правильнiсть
								125

¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!

рiвностi [ a ; b ] c = [ b ; c ] a . З точнiстю до знака ця рiвнiсть має мiсце, оскiльки з точнiстю до знака кожна частина цiєї рiвностi дорiвнює об’єму паралелепiпеда, побудованого на век-

¡!

b ; c )

торах

a ; ¡! i

, якi зведенi до спiльного початку. Знаки обох

b ; c ; a )

¡!

частин цiєї рiвностi так само однаковi, бо трiйки ( a ;

(¡!

!¡ ¡!

мають однакову орiєнтацiю (див. (22)). Проведенi

!¡

¡! b ] c

= 0

некомпла-

вище мiркування правильнi, коли вектори a , ¡!,

b ; c ] = 0

[ a ; b ] c = a [ b ; c ]

¡!

нарнi. У випадку компланарностi цих векторiв [ a ;

a [!¡

¡!

, а тому

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

b ] c =

a [ b ; c ]

дозволяє записува-

Доведена рiвнiсть [ a ; ¡!

¡!

!¡

¡!

просто у виглядi

ти мiшаний добуток трьох векторiв a , ¡! i

¡!

, не вказуючи при цьому, якi саме два вектори перемно-

a !¡

жуються векторно, тобто

¡!

!¡

¡!

!¡

b c = [ a ; b ] c = a [ b ; c ]:

¡!

c = 0

компланарнi тодi й тiль-

Наслiдок 2. Вектори a , ¡! i

ки тодi, коли їхнiй мiшаний добуток

!¡

¡!

b c

= 0

¡!

компланарнi, то згiдно

Справдi, якщо вектори a , ¡! i

з теоремою

¡!

= 0

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

, а вектори не компла-

Якщо ж мiшаний добуток a

нарнi, то одержимо суперечнiсть. Це випливає з того, що згiдно

¡!

c =

V =

дорiвнює з точнiстю до знака об’єму парале-

з теоремою a !¡

!¡

¡!

лепiпеда, побудованого на цих векторах, тобто a

¡!

компланарнi.

0. Звiдси випливає, що вектори a , !¡ i

Знайдемо вираз для мiшаного добутку через координати

векторiв, що перемножуються. Нехай

!¡

a = (x1; y1; z1), ¡!

c = (x

; y

; z )

(x2; y2; z2) i !¡

3 . Тодi, згiдно з формулою (31), має-

мо

	¯	¡!i	¡!
[¡! ¡!	¯	x1	j
[¡! ¡!	¯	x1	y1
	¯
a ; b ] =
	¯
	¯	x2	y2
	¯	x2	y2

¡!	¯		¯	2		2	¯		¡ ¯	2
k	¯		¯	y		z	¯		¯	x
z2	¯		¯	y		z	¯		¯	x
z1	¯	=	¯	y1		z1	¯	¡!i	¯	x1
	¯		¯				¯		¯
	¯		¯		¯		¯		¯
+	¯	x2		y2	¯	¡!
	¯			y1	¯
	¯x1			y1	¯
	¯				¯	k :
	¯				¯

z1 ¯¯¡! z2 ¯ j +

126

Оскiльки

¡!

= x3

¡!i + y3

j + z

¡!

¡!, то скориставшись форму-

лою (19) для скалярного добутку, одержимо

3 +

¯z3:

¡!!¡ ¡! ¡! ¡! ¡!

y2 z2

3 ¡

a b c = [ a ; b ] c =

y1 z1

Легко бачити, що ¯отриманий¯

вираз¯

є розкладом¯ ¯ визначника¯

за елементами третього рядка. Отже,

¡!¡!¡!

(33)

Якщо скористатися формулою¯

(33), то¯

наслiдок 2 можна

сформулювати так: вектори

¡!

b = (x ; y

; z

)

a = (x1; y1; z1), !¡

c = (x ; y

; z )

¡!

компланарнi тодi й тiльки тодi, коли

(34)

¯ = 0:

Приклад

12.

¯Визначити

орiєнтацiю¯

трiйки

векторiв

( a ;

¡!

!¡

, якщо

¡!

¡!,

¡!

¡!,

!¡

!¡ .

¡!

b ; c )

a = i + j b = i

j c = k

¡!

b ; c )

a b c < 0

¡!

b c > 0

, то трiй-

Згiдно з теоремою, якщо мiшаний добуток a ¡!

¡!

!¡

є правою, а коли

¡!

, то – лiвою. Якщо ж

ка ( a ; ¡!

¡!

c )

¡!

= 0

¡!

b ;

, то вектори

компланарнi, а тому для них вiд-

a ¡!

, ¡! i

¡!

!¡

¡!

. Тому обчислимо мiшаний

сутнє поняття орiєнтацiї трiйки ( a ;

добуток a

¡! .

¡!

b c

¡!

¡! i

¡!

Подамо вектори

за допомогою їхнiх координат:

a ;

a = !¡i

+ ¡!

!¡

= (1; 0; 0) + (0; 1; 0) = (1; 1; 0);

¡!

¡! ¡ !¡

= (1; 0; 0)

(0; 1; 0) = (1;

1; 0);

= ¡!

¡!

= (0; 0; 1):

Згiдно з формулою (33)

¢ ¡

¡!¡!¡!

3+1

a b c =

1 0

= 1 ( 1)

= 2 < 0:

127

¡!

b ;

¡!

c )

є лiвою.

Звiдси випливає, що трiйка ( a ; ¡!

Приклад 13. Вектор ¡! перпендикулярний до векторiв ¡! i

= 6

¡!, кут мiж якими дорiвнює

±. Обчислити !¡

!¡ !¡ , якщо

¡!

j!¡ j

= 3

j¡!j

= 3

¡!

Згiдно з геометричним змiстом мiшаного добутку

a ¡!

!¡

V , де V – об’єм паралелепiпеда, побудованого на векторах a , ¡! i

, вважаючи, що

¡!, зведених до спiльного початку. Знайдемо об’єм

основою паралелепiпеда є паралелограм, побудований на векторах

¡!

!¡

перпендикулярний до площини цього парале-

a i ¡!. Тодi вектор

!¡

¡!

¡!, а тому

j¡!j

– висота паралелепiпеда.

лограма, бо c

Маємо, що площа S паралелограма дорiвнює

S =

¡!

кв. од.

¢ 2

j¡!j j

sin 30

= 6

1 = 9 (

Тодi

= 9

3 = 27 (

V = Sj!¡ j

куб. од.

Отже,

¡!

причому

!¡

¡!

, якщо

трiйка

b c

¡!

a ¡!

¡!

!¡

b ; c )

права i

c =

, якщо ця трiйка лiва.

( a ; ¡!

¡!

Приклад 14. Довести, що чотири точки A(1; 2; ¡1), B(0; 1; 5),

C(¡1; 2; 1) i D(2; 1; 3) лежать в однiй площинi.

J Точки A, B, C i D лежать в однiй площинi тодi й тiльки тодi,

коли вектори

¡¡!

1; 6)

¡!

2; 0; 2)

i ¡¡!

1; 4)

ком-

AB = (

AC = (

AD = (1;

планарнi. Умовою компланарностi є виконання рiвностi (34). Оскiль-

ки	¯	1	1	4	¯	¡ ¡ ¡ ¡
	¯	¡1	¡1	6	¯
	¯	¡2	¡		¯
	¯	¡2	0 2		¯ = 0 + 12 2 0 8 2 = 0;
	¯				¯
то ця умова виконується,¯					а¯тому заданi чотири точки лежать в однiй

площинi. I

Приклад 15. Точки A(2; 3; 1), B(4; 1; ¡2), C(6; 3; 7) i D(¡5; ¡4; 8)

є вершинами трикутної пiрамiди. Знайти довжину висоти цiєї пiра-

мiди, яка опущена з вершини D на основу.

AC = (4; 0; 6)

J Розглянемо вектори

= (2;

¡¡!

¡!

AD =

(

7; 7)

. Об’єм

паралелепiпеда, побудованого на цих

¡¡!

векторах, дорiвнює модулю їхнього мiшаного добутку, тобто V

j[¡¡! ¡! ¡¡!j. Оскiльки

AB; AC]AD

[¡¡! ¡! ¡¡! =

¡2

¡3

AB; AC]AD

= 0 + 84 + 84 0 + 54 + 84 = 308;

128

то V = 308 (куб. од.).

Очевидно, що об’єм VABCD трикутної пiрамiди ABCD дорiвнює
1
6V , а тому	1		154
VABCD =	1	¢ 308 =	154	(куб. од):
VABCD =	6	¢ 308 =	3	(куб. од):

З iншого боку, якщо вважати трикутник ABC основою трикутної пiрамiди ABCD, маємо

VABCD = 3S4ABCH;

де H – висота пiрамiди, яка опущена з вершини D на її основу. Тому

H = 3VABCD :

S4ABC

Площу S4ABC знайдемо за допомогою векторного добутку

S4ABC = 2j[¡¡! ¡! j

AB; AC] :

Оскiльки

¡!i

¡!

[AB; AC] =

¡2

¡3

2 ¡3

j +

¡¡! ¡!

!¡ ¡

4 6

¡!

¡ ¡! ¡ ¡! ¡!

4 0

¡!

k = 12 i

24 j + 8 k ;

то [¡¡! ¡!

Тодi

12)

24)

+ 8

= 784 = 28

AB; AC]

(

+ (

S4ABC =

¢ 28 = 14 (кв. од);

а тому шукана висота H =

154

= 11 (од.). I

Вправи

1. Для якого значення ® вектори ~a = (®; ¡3; 2) i b = (1; 2; ¡®) перпендикулярнi?

2. Дано точки A(¡1; 3; ¡7), B(2; ¡1; 5) i C(0; 1; ¡5). Обчислити

¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡!

(2AB ¡ CB)(2BC + BA).

3. Знайти кут мiж векторами ~a = (2; 3; ¡1) i b = (4; 5; 2).

129

Вектори ~a i b утворюють кут ' =

. Знаючи, що j~aj

= 3,

jbj = 1, обчислити кут ® мiж векторами p~ = ~a + b i ~q = ~a ¡ b.

, знаючи

Знайти кут, який утворює вектор ¡¡! з вiссю

цилiндричнi координати r, ' i h точки M.

¡! ¡!

¡! i

Дано вектори a

= 3¡!i

6¡!

¡!, ¡!

¡!

k b = i + 4 j

5 k

3¡!i

4¡!

!¡ . Обчислити пр c

c =

¡!

!¡ .

+ 12 k

¡!

( a + b )

Дано вершини трикутника A(3; 2; ¡3), B(5; 1; ¡1), C(1; ¡2; 1).

Знайти внутрiшнiй кут при вершинi A.

8. Знайти кут мiж дiагоналлями паралелограма, побудованого

a = (2; 1; 0)

= (0;

2; 1)

на векторах ¡!

= 1

¡!

2¼

= 2

9. Нехай j¡!j

, j!¡ j

i кут мiж векторами

. Обчислити:

b ]

; 2)

[2 a + b ; a + 2 b ]

; 3)

[ a + 3 b ; 3 a

b ]

[ a ; ¡!

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

¡! .

¡!

j + k ]

[ j ;

i + k ]+[ k ;

i + j + k ]

10. Спростити вираз: 1) [¡!i ; ¡!

¡!

¡! ¡!

¡!

!¡

¡!

;

b + c ; c ] + [ a + b + c ; b ] + [ b

c ; a ]

[2 a + b ; c

2) [ a + ¡!

¡! !¡

¡!

!¡

¡!

¡! !¡

; 3)

¡!

!¡

¡! ¡

¡!

b + c ; a + b ]

; 4)

2 i [ j ; k ] + 3 j [ i ; k ] + 4 k [ i ; j ]

a ] + [!¡

¡! !¡

¡!

¡! ¡!

!¡

!¡ ¡!

¡!

!¡ ¡! .

¡!

= 5

11. Нехай

¡!

i кут мiж векторами ¡! i !¡ дорiвнює

2 b

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах !¡ ¡

¡! i

3 a + 2¡!.

= 2

= 5

¡!

12. Нехай j!¡ j

, j¡!j

i кут мiж векторами

¡! i ¡! дорiвнює

. Виразити за допомогою векторiв

!¡

i ¡! одиничний вектор

¡!

( a ; b ; e )

перпендикулярний до цих векторiв, i такий, що: 1) трiйка

¡!

!¡

¡!

права; 2) трiйка

( b ; e ; a )

лiва.

¡!

¡! ¡!

® =

[ a ; b ]

13. Вектори

. Обчислити

!¡ утворюють кут

!¡

¡!

якщо

= 6,

= 5

¡!

j¡!j

= 3

= 26

[ a ; b ]

= 72

a b

14. Вiдомо, що j!¡ j

, j¡!j

i j

¡!

¡! j

. Обчислити ¡!¡!.

= 3

15. Вектори ¡! i

¡! перпендикулярнi. Знаючи, що

¡!

!¡

4. Обчислити

[3 a

b ; a

2 b ]

¡!

!¡ ¡

¡! .

® = 2¼

a = 1

!¡ ¡ b

. Знаючи, що

16. Вектори a i

¡! утворюють кут

¡!

j¡!j

= 2

j!¡ j

, обчислити:

[ a + 3 b ; 3 a

b ]2

; 2)

[2 a + b ; a + 2 b ]2

; 3)

1) [ a ; !¡

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

!¡

¡!

17. Довести тотожнiсть

[ a ; b ]2

+ ( a b )2 = a

¡!

!¡

¡!

!¡

+ c

= 0

18. Вектори

задовольняють умову

+ b

¡!

¡!,

!¡

¡!

b ] = [ b ; c ] = [ c ; a ]

Довести, що [ a ; ¡!

!¡

¡!

!¡ ¡!

!¡

= (1; 2;

= (3;

. Знайти ко-

19. Задано вектори ¡!

¡!

ординати векторного добутку:

b ]

[2 a

b ; 2 a + b ]

1) [ a ; !¡

; 2)

¡! ¡

¡!

¡! .

¡!

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.08.201972.19 Кб3Vidy_narkoticheskikh_veshestv.doc
#
09.08.2019171.01 Кб2Vijdij_trydovogo_dogovory.doc
#
01.05.2025263.61 Кб0Vikova_shpora.docx
#
01.07.2025130.73 Кб3Virobnicha_praktika.docx
#
01.07.2025187.39 Кб1Vizantiya.doc
#
28.02.20161.73 Mб32vm1.pdf
#
01.05.2025184.83 Кб0Vnimanie.doc
#
01.07.2025274.94 Кб0Voleybol.doc
#
01.07.202528.87 Кб0Voprosy_k_zachetu.docx
#
01.07.202566.14 Кб0vse-1.docx
#
01.07.2025163.57 Кб1vstupniy_ispit.docx