vm1

231

Точка X називається опуклою лiнiйною комбiнацiєю

точок X1, X2, : : :, Xn, якщо виконується умова

X = ®1X1 + ®2X2 + : : : + ®nXn;

де

Xn

®i ¸ 0; i 2 f1; : : : ; ng; ®i = 1:

i=1

У вiдповiдностi з означенням опуклої множини вона мiстить опуклу лiнiйну комбiнацiю будь-яких своїх точок.

Точка опуклої множини називається крайньою, якщо її не можна подати у виглядi опуклої лiнiйної комбiнацiї будь-яких двох рiзних точок цiєї множини. Наприклад, крайнiми точками многокутника є його вершини.

Опукла замкнена множина точок простору (площини), яка має скiнченне число кутових (крайнiх) точок, називається

опуклим многогранником (многокутником), якщо вона обмежена, i опуклою многогранною (многокутною) областю, якщо вона необмежена.

Кутовi точки многокутника називаються його вершинами, а вiдрiзки, що з’єднують двi вершини i утворюють його

Mмногокутника називається пря-

2.2. Властивостi розв’язкiв задачi лiнiйного програмування. Розглянемо канонiчну задачу, записану в матричновекторнiй формi

де CX – скалярний добуток векторiв C = (c1; c2; : : : ; cn) i X = (x1; x2; : : : ; xn), а вектори

0 b1 1 B b C

A0 = B 2 C

@ : : : A bm

складаються вiдповiдно з коефiцiєнтiв при змiнних x1, x2, : : :, xn i вiльних членiв.

З обмежень (3), (4) випливає, що X = (x1; x2; : : : ; xn), xj ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng; є планом або допустимим планом

задачi (2) – (4) тодi й тiльки тодi, коли вектор-стовпчик A0 є невiд’ємною лiнiйною комбiнацiєю векторiв A1, A2, : : :, An, де коефiцiєнтами є координати вектора X.

План X = (x1; x2; : : : ; xn) задачi (2) – (4) називається опорним, якщо вектори-стовпчики Aj, якi вiдповiдають додатним xj, є лiнiйно незалежними.

З цього означення випливає, що число додатних координат опорного плану не перевищує m, бо вектори Aj, j 2 f1; : : : ; ng; є m-вимiрними, а в m-вимiрному просторi Rm максимальне число лiнiйно незалежних векторiв дорiвнює m.

Опорний план називається невиродженим, якщо число його додатних координат дорiвнює m, i виродженим, якщо воно менше m.

Базисом опорного плану називається система з m лiнiйних незалежних векторiв-стовпчикiв Aj матрицi A, що мiстить всi вектори, якi вiдповiдають додатним координатам опорного плану.

Доводиться [13], що множина планiв задачi лiнiйного програмування є опуклим многогранником (многокутником) або

234

опуклою многогранною (многокутною) областю. Надалi називатимемо цю множину многогранником (многокутником) розв’язкiв i позначатимемо символом -.

Вiдповiдь на питання, в якiй точцi многогранника (многокутника) досягається екстремум цiльової функцiї дає така теорема.

Теорема [14]. Якщо цiльова функцiя f має максимум на опуклому многограннику допустимих планiв (розв’язкiв), то вiн досягається у вершинi (кутовiй точцi) цього многогранника.

Якщо цiльова функцiя має максимум бiльше нiж в однiй кутовiй точцi, то вона досягає його в будь-якiй точцi, яка є опуклою лiнiйною комбiнацiєю цих точок.

Згiдно з цiєю теоремою, замiсть дослiдження нескiнченної множини допустимих планiв (розв’язкiв) для знаходження серед них оптимального розв’язку, необхiдно дослiдити лише скiнченне число кутових точок многогранника розв’язкiв.

Доводиться, що вектор X = (x1; x2; : : : ; xn) є опорним планом задачi (2) – (4) тодi й тiльки тодi, коли X є вершиною многогранника - допустимих планiв.

Отже, якщо цiльова функцiя задачi лiнiйного програмування (2) – (4) обмежена на опуклому многограннику розв’язкiв, заданому умовами задачi, то iснує крайня точка (опорний план) цiєї множини, у якiй цiльова функцiя досягає максимуму. Тому для розв’язування задачi лiнiйного програмування необхiдно дослiдити тiльки вершини многогранника розв’язкiв

– опорнi плани задачi.

235

1)Знаходимо область допустимих розв’язкiв -. Якщо ця множина порожня, то задача розв’язку немає.

2)Будуємо вектор ~n = (c1; c2).

3)Проводимо лiнiю рiвня (f), яка перпендикулярна до ~n i проходить через початок координат. При збiльшеннi h пряма f = h зсувається паралельно у напрямку вектора ~n. Якщо A – перша точка зустрiчi прямої рiвня з многокутником розв’язкiв

-, f(A) = h0, то пряма рiвня f(x) = h при h < h0 не має спiльних точок з -. Звiдси випливає, що h0 = min f на -. Ана-

логiчно, якщо B – остання точка перетину лiнiї рiвня з -, то f(B) = max f на -.

Якщо першої точки перетину лiнiї рiвня (f) з - не iснує, тобто при всiх h з деякого промiжку (¡1; h0) пряма рiвня перетинає -, то fmin = ¡1, i задача на мiнiмум нерозв’язна. Якщо не iснує останньої точки перетину, то fmax = +1, i задача на максимум нерозв’язна.

Якщо виявиться, що лiнiя рiвня паралельна до однiєї iз сторiн многокутника розв’язкiв, то в цьому випадку екстремум досягається в усiх точках вiдповiдної сторони, а задача лiнiйного програмування матиме безлiч розв’язкiв

X¤ = ¸X1¤ + (1 ¡ ¸)X2¤;

де 0 · ¸ · 1, X1¤ i X2¤ – оптимальнi розв’язки (кутовi точки). 4) Знаходимо координати точки екстремуму i значення цiльової функцiї в нiй. Для знаходження координат точки A екстремуму (вершини многокутника -) треба розв’язати систему

лiнiйних рiвнянь вигляду

½ai1x1 + ai2x2 = bi; aj1x1 + aj2x2 = bj;

де i та j – номера прямих, що обмежують область допустимих

розв’язкiв -, на перетинi яких знаходиться вершина A.

Приклад 1. Продаючи товари двох типiв P1 i P2 торговельне пiдприємство використовує чотири види ресурсiв S1, S2, S3 i S4. Норми витрат ресурсiв на реалiзацiю одиницi товару та обсяг ресурсiв наведено в таблицi

237

Кожна з цих прямих дiлить площину Ox1x2 на двi частини. З’ясуємо, яку пiвплощину утворюють точки, координати яких задовольняють обмеження-нерiвнiсть. Розглянемо це на прикладi першої нерiвностi. Для цього вiзьмемо точку O(0; 0) i пiдставимо її координати в перше обмеження:

2 ¢ 0 + 2 ¢ 0 · 12 або 0 · 12:

Оскiльки нерiвнiсть правильна, то нерiвнiсть 2x1 + 2x2 · 12 задовольняють координати тих точок, якi знаходяться у тiй же пiвплощинi, що й точка O. Цю пiвплощину вiдзначаємо стрiлочками на прямiй (1). Аналогiчно знаходимо пiвплощини, якi визначаються другим i третiм обмеженнями-нерiвностями. Перерiз одержаних пiвплощин й визначає многокутник розв’язкiв OABCD.

Для побудови лiнiї рiвня 2x1 + 3x2 = 0 (f) вiдкладемо нормальний вектор ~n = (2; 3) i через точку O проведемо пряму, перпендикулярну до цього вектора. Пряму (f) пересуваємо паралельно самiй собi у напрямку вектора ~n. З рисунка 1 випливає, що опорною до многокутника розв’язкiв - ця пряма є в точцi C, де функцiя f набуває максимального значення. Очевидно, що точка C лежить на перетинi прямих (1), (2), (3). Знайдемо її координати, розв’язавши, наприклад, систему

звiдки одержуємо, що x1 = 4, x2 = 2.

Отже, оптимальний розв’язок X¤ = (4; 2), fmax = f(X¤) = 2 ¢ 4 + 3 ¢ 2 = 14, а це означає, що для забезпечення максимального прибутку, що становить 14 гр.од., треба реалiзувати чотири одиницi

товару P1 i двi одиницi товару P2.I

Приклад 2. Розв’язати задачу про складання кормового рацiону (приклад 2 з §1), математична модель якої має вигляд:

239

J Побудуємо многокутник розв’язкiв. Для цього в системi координат Ox1x2 зобразимо межовi прямi:

i з’ясуємо, яку пiвплощину визначає кожне обмеження-нерiвнiсть

вiдносно вiдповiдної прямої (рис. 2). x2 6

9*

(f)

Рис. 2

1

Будуємо вектор ~n = (4; 6) = 2(2; 3) i пряму рiвня 4x1+6x2 = 0 (f). Якщо рухати цю пряму у напрямку вектора ~n, то вперше вона стає опорною до многокутника розв’язкiв - у точцi B, а це означає, що в цiй точцi функцiя f набуває мiнiмального значення. Точка B лежить на перетинi прямих (1) i (2), а тому для знаходження її координат треба розв’язати систему рiвнянь:

½3x1 + x2 = 9; x1 + 2x2 = 8;

звiдки випливає, що x1 = 2, а x2 = 3.

Отже, оптимальний розв’язок X¤ = (2; 3), а fmin = f(X¤) = 4¢2+ 6 ¢ 3 = 26.

Це означає, що для забезпечення необхiдного добового рацiону при мiнiмальних витратах у 26 гр.од. треба скласти рацiон з 2 од. корму P1 i 3 од. корму P2. I

Зауваження. За допомогою графiчного методу можна розв’язувати задачi лiнiйного програмування, система обмежень яких мiстить n невiдомих i m лiнiйно незалежних рiвнянь, якщо n ¡ m = 2.

240