vm1

Приклад 4. Знайти розв’язок прямої задачi

f = 15x1 + 6x2 + 4x3 ! max;

½ 3x1 + 2x2 ¡ x3 = 9; 5x1 ¡ 3x2 + 4x3 = 25;

xj ¸ 0; j 2 f1; 2; 3g;

розв’язавши графiчно двоїсту до неї.

J Двоїста задача до заданої має вигляд:

F = 9y1 + 25y2 ! min;

8

< 3y1 + 5y2 ¸ 15;

: 2y1 ¡ 3y2 ¸ 6;

¡y1 + 4y2 ¸ 4:

Областю допустимих розв’язкiв є кут ABC. Очевидно, що лiнiя найнижчого рiвня проходить через точку B, тобто в цiй точцi цiльова функцiя F досягає мiнiмуму. Координати точки B знаходимо з

Маємо y1¤ = 7; 2; y2¤ = 2; 8, тобто Y ¤ = (7; 2; 2; 8), Fmin = 134; 8. Якщо пiдставити Y ¤ в обмеження двоїстої задачi, то дiстанемо

8 < 3 ¢ 7; 2 + 2; 8 ¢ 5 = 35; 6 > 15;

2 ¢ 7; 2 ¡ 3 ¢ 2; 8 = 6; : ¡7; 2 + 4 ¢ 2; 8 = 4:

271

Оскiльки перше обмеження задовольняється як строга нерiвнiсть, то згiдно з другою теоремою двоїстостi, змiнна x¤1 = 0. Пiдставивши x1 = 0 у систему обмежень вихiдної задачi, одержимо систему

рiвнянь: ½ 2x2 ¡ x3 = 9;

¡3x2 + 4x3 = 25;

звiдки випливає, що x¤2 = 12; 2, а x¤3 = 15; 4. Тому X¤ = (0; 12; 2; 15; 4),

fmax = 134; 8. I

Друга теорема двоїстостi має певний економiчний змiст. Згiдно з умовою 1) теореми 4, якщо деяка продукцiя Pj входить в оптимальний план виробництва, тобто x¤j > 0, то при оптимальнiй системi цiн двоїстої задачi витрати ресурсiв на його виготовлення збiгаються з вартiстю цiєї продукцiї.

Зумови 2) випливає, що коли в оптимальнiй системi цiн

деякий ресурс Si має цiну yi¤ > 0, то у вiдповiдностi з оптимальним планом виробництва прямої задачi цей ресурс буде використаний повнiстю.

Скориставшись обмеженнями прямої та двоїстої задач, можна доповнити тлумачення умов 1) i 2) теореми 4.

Здругого спiввiдношення теореми 4 випливає, що коли

Xm

¤> cj, то x¤j = 0, а це означає, що при збитковостi

i=1

виробництва продукцiї Pj вона не вироблятиметься на цьому пiдприємствi.

З першого спiввiдношення теореми 4, у свою чергу, одер-

Xn

жуємо, що за умови aijx¤j < bi оцiнка yi¤ = 0, тобто, коли

j=1

при оптимальному планi виробництва i-й ресурс використовуватиметься не повнiстю, то його оцiнка yi¤ повинна дорiвнювати нулю. Отже, оптимальна двоїста оцiнка ресурсу yi¤ вказує, чи

євiдповiдний ресурс дефiцитним, чи нi.

5.4.Розв’язування пари двоїстих задач симплексним методом. Нехай задача (1) – (3) розв’язана

за допомогою симплексного методу i знайдено оптимальний план X¤ = (x¤1; : : : ; x¤n), який визначається базисом, утвореним векторами Ai1 ; : : : ; Aim . Позначимо через Cб = (ci1 ; : : : ; cim )

272

вектор-рядок, складений з коефiцiєнтiв при невiдомих у цiльовiй функцiї задачi (1) – (3), якi вiдповiдають цьому базису, а через A¡1 матрицю, обернену до матрицi A, складеної з компонентiв векторiв Ai1 ; : : : Aim базису. Доведено, що вектор Y ¤ = CбA¡1 є оптимальним планом двоїстої задачi (5) – (7).

Отже, якщо знайдено за допомогою симплексного методу оптимальний план задачi (1) – (3), то з останньої симплексної таблицi визначають Cб i A¡1, i, отже, за допомогою спiввiдношення Y ¤ = CбA¡1 одержують оптимальний план двоїстої задачi (5) – (7).

Якщо ми маємо канонiчну задачу лiнiйного програмування i двоїсту до неї, то у випадку, коли серед векторiв A1; : : : ; An, складених з коефiцiєнтiв при невiдомих у системi обмежень прямої задачi, є m одиничних, указану матрицю A¡1 утворюють числа перших m рядкiв останньої симплексної таблицi, якi стоять у стовпчиках цих векторiв. Тодi вiдпадає необхiднiсть визначати оптимальний план двоїстої задачi множенням Cб на A¡1, оскiльки компоненти цього плану збiгаються з вiдповiдними елементами ¢j (m + 1)-го рядка одиничних векторiв, якщо коефiцiєнт cj = 0, i дорiвнюють сумi вiдповiдного елемента ¢j цього рядка та cj, якщо cj =6 0.

У випадку задачi (1) – (3) компоненти оптимального плану двоїстої задачi (5) – (7) збiгаються з числами ¢j (m + 1)-го рядка останньої симплексної таблицi. Указанi числа стоять у

стовпчиках векторiв, що вiдповiдають додатковим змiнним.

Приклад 5. Розв’язати задачу

f = x2 ¡ x4 ¡ 3x5 ! min;

8

< x1 + 2x2 ¡ x4 + x5 = 1;

: ¡4x2 + x3 + 2x4 ¡ x5 = 2; 3x2 + x5 + x6 = 5;

xj ¸ 0; j 2 f1; : : : ; 6g;

й двоїсту до неї.

J Двоїста задача до заданої має вигляд

F = y1 + 2y2 + 5y3 ! max;

273

Знайдемо тепер оптимальний план двоїстої задачi. Його координати знаходяться в (m + 1)-у рядку останньої симплексної таблицi, а саме, i-та координата стоїть навпроти вiдповiдного вектора, який входив до початкового базису, якщо до неї додати вiдповiдне значення коефiцiєнта цiльової функцiї:

274

Зауваження. Якщо оптимальний план прямої задачi вироджений, то оптимальний план двоїстої задачi, взагалi кажучи, не єдиний. Перехiд до нової симплексної таблицi здiйснюють за правилом: рядок, якому вiдповiдає br = 0, беруть за провiдний, а провiдний стовпчик визначають з умови

( )

При цьому досить перерахувати лише елементи (m + 1)-го

рядка, бо стовпчик A0 не змiнюється.

Приклад 6. Розв’язати задачу

f = 4x1 + 4x2 ! max;

½x1 + 2x2 · 1;

2x1 + x2 · 2;

x1 ¸ 0; x2 ¸ 0;

й двоїсту до неї.

J Двоїста задача до заданої має вигляд

F = y1 + 2y2 ! min;

½y1 + 2y2 ¸ 4;

2y1 + y2 ¸ 4;

y1 ¸ 0; y2 ¸ 0:

Розв’яжемо за допомогою симплексних таблиць пряму задачу

275

У другiй симплекснiй таблицi умова оптимальностi виконується,

аце означає, що пряма задача розв’язана: X¤ = (1; 0), fmax = 4. Оскiльки оптимальний план вироджений, то двоїста задача має

безлiч розв’язкiв. Перший оптимальний план двоїстої задачi знаходимо з другої таблицi, а саме Y1¤ = (4; 0). Для того щоб знайти другий оптимальний план, перейдемо до третьої симплексної таблицi. За провiдний вiзьмемо другий рядок, бо йому вiдповiдає b2 = 0. Провiдний стовпчик визначимо з умови

Ã!

5.5. Двоїстий симплексний метод. При застосуваннi симплексного методу до розв’язування задачi лiнiйного програмування вимагалося, щоб компоненти вектора обмежень bi, i 2 f1; : : : ; mg були невiд’ємними. При цьому оцiнки ¢j, j 2 f1; : : : ; ng могли бути довiльними.

Часто зустрiчаються випадки, коли є базис, що задовольняє ознаку оптимальностi, тобто всi ¢j ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng, але умова допустимостi не виконується, оскiльки не всi bi ¸ 0, i 2 f1; : : : ; mg. Варiант симплексного методу, що застосовується при розв’язуваннi таких задач, називається двоїстим симплексним методом або методом уточнення оцiнок.

Розглянемо задачу

276

де матриця A мiстить одиничний базис i всi оцiнки ¢j ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng, але умова невiд’ємностi не накладається на компоненти bi, i 2 f1; : : : ; mg, вектора A. Таку задачу називатимемо задачею у двоїстiй базиснiй формi.

Симплексний метод, який застосовуємо до задачi в канонiчнiй базиснiй формi, приводить до еквiвалентних задач iз зростаючим значенням цiльової функцiї i невiд’ємними bi, i 2 f1; : : : ; mg, а це означає, що кожний базисний розв’язок є допустимим. Двоїстий симплексний метод, при застосуваннi його до задачi у двоїстiй базиснiй формi, приводить до послiдовностi задач зi спадним значенням цiльової функцiї, невiд’ємними

оцiнками ¢j, j 2 f1; : : : ; ng, i значеннями bi, i 2 f1; : : : ; mg; довiльного знаку. Iтерацiї продовжуємо до тих пiр, поки не буде

встановлено, що вихiдна задача не має допустимого плану або буде одержана задача з допустимим базисним розв’язком, де всi bi ¸ 0, i 2 f1; : : : ; mg, який є одночасно й оптимальним.

Вiдносно задачi (13) у двоїстiй базиснiй формi можливi три випадки.

Випадок 1. Усi координати вектора обмежень A0 невiд’ємнi, bi ¸ 0, i 2 f1; : : : ; mg. Тодi вони визначають не тiльки допустимий, але й оптимальний план задачi, оскiльки згiдно з припущенням усi оцiнки ¢j ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng.

Випадок 2. Iснує рядок i, i 2 f1; : : : ; mg, такий, що bi < 0 i aij ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng. У цьому випадку задача нерозв’язна, бо система обмежень несумiсна. Справдi, для довiльного вектора

X = (x1; : : : ; xn), де xj ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng, при aij ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng, маємо ai1x1 + ai2x2 + : : : + ainxn ¸ 0, а тому i-те обмеження ai1x1 + ai2x2 + : : : + ainxn = bi, де bi < 0, не має змiсту.

Випадок 3. Iснує рядок r 2 f1; : : : ; mg, такий, що br < 0 i arj < 0 принаймнi для одного j 2 f1; : : : ; ng. Нехай s 2

Тодi жорданове перетворення з провiдним елементом ars приводить до еквiвалентної задачi, в якiй всi оцiнки ¢j ¸ 0,

277

j 2 f1; : : : ; ng, i значення цiльової функцiї f0 · f, а при ¢s 6= 0 f0 < f.

Опишемо алгоритм двоїстого симплексного методу. Розглянемо задачу (13) у двоїстiй базиснiй формi. Двоїстий

симплексний метод, застосований до цiєї задачi, складається з наступних крокiв, якi повторюються до тих пiр, поки в ходi жорданових перетворень не буде встановлено вiдповiднiсть чергової еквiвалентної задачi випадкам 1) або 2), якi описанi вище.

1.Перевiряємо знаки компонент вектора обмежень A0. Якщо всi bi ¸ 0, i 2f1; : : : ; mg, то має мiсце випадок 1. Базисний розв’язок i значення цiльової функцiї, якi записанi в стовпчи-

ку A0 симплексної таблицi, визначають оптимальний розв’язок вихiдної задачi. Якщо ж серед bi, i 2 f1; : : : ; mg; є вiд’ємнi, то переходимо до кроку 2.

2.Серед вiд’ємних компонент bi вибираємо компоненту br, найбiльшу за абсолютною величиною, i рядок r називаємо провiдним.

3.У провiдному рядку перевiряємо знаки всiх arj, j 2

f1; : : : ; ng. Якщо всi arj ¸ 0, j 2 f1; : : : ; ng, то маємо випадок 2. Розв’язування закiнчено, оскiльки доведено, що задача

розв’язку не має. Якщо ж принаймнi один iз коефiцiєнтiв arj, j 2 f1; : : : ; ng; вiд’ємний, то маємо випадок 3, i переходимо до наступного кроку 4.

4. Серед вiд’ємних коефiцiєнтiв arj, j 2 f1; : : : ; ng; провiдного рядка вибираємо елемент ars, для якого

¡¢s = min ½¡¢j ¾

ars arj<0 arj

i назвемо його провiдним.

5. Переходимо до наступної симплексної таблицi, виконавши жорданове перетворення попередньої таблицi з провiдним (розв’язувальним) елементом ars , i повертаємося до кроку 1.

Оптимальний план прямої задачi визначається базисними змiнними та їхнiми значеннями в стовпчику A0 останньої симплексної таблицi, а двоїстої задачi – змiнними двоїстої задачi,

278

якi вiдповiдають базисним стовпчикам вихiдної задачi, та їхнiми значеннями, що знаходяться в оцiночному (m + 1)-у рядку з урахуванням cj.

Двоїстий симплексний метод зручно використовувати також для розв’язування задач, якi мають одиничний базис, але не належать до задач у базиснiй формi, оскiльки мають вiд’ємнi компоненти серед елементiв вектора-стовпчика A0 i (m + 1)-го рядка одночасно. Розв’язуються такi задачi в два етапи. Спочатку за допомогою двоїстого симплексного методу виключаються всi bi < 0, а потiм оптимальний план знаходиться звичайним симплексним методом. Треба лише на першому етапi замiнити крок 4 на такий:

40. Серед вiд’ємних коефiцiєнтiв arj провiдного рядка вибираємо елемент ars, для якого

br = max ½ br ¾:

ars arj<0 arj

Приклад 7. За допомогою двоїстого симплексного методу розв’язати задачу

f = 3x1 + 2x2 ¡ 4x3 ! min;

½ x1 + x2 ¡ 2x3 ¸ 4;

3x1 + x2 ¡ 4x3 ¸ 7; xj ¸ 0; j 2 f1; 2; 3g;

i знайти розв’язок двоїстої до неї.

J Двоїста задача до заданої має вигляд

F = 4y1 + 7y2 ! max;

8

< y1 + 3y2 · 3;

: y1 + y2 · 2;

¡2y1 ¡ 4y2 · ¡4; y1 ¸ 0; y2 ¸ 0:

Зведемо пряму задачу до канонiчної форми

f = 3x1 + 2x2 ¡ 4x3 ! min;

279

½ ¡x1 ¡ x2 + 2x3 + x4 = ¡4;

¡3x1 ¡ x2 + 4x3 + x5 = ¡7; xj ¸ 0; j 2 f1; : : : ; 5g:

Розв’язування цiєї задачi проведемо за допомогою симплексних таблиць

У першiй симплекснiй таблицi умова оптимальностi не виконується i в стовпчику A0 є вiд’ємнi елементи. За провiдний рядок вiзьмемо другий, бо йому вiдповiдає найбiльше за абсолютною величиною bi < 0, i 2 f1; 2g. Провiдний елемент виберемо, скориставшись вiдношенням

Цим елементом є ¡1 .

У другiй симплекснiй таблицi умова оптимальностi не виконується, а умова допустимостi виконується, бо в стовпчику A0 всi bi ¸ 0, i 2 f1; 2g . Тому цю задачу розв’язуємо за допомогою звичайного симплексного методу. За провiдний стовпчик беремо A1, за провiд-

Розв’язок двоїстої задачi мiститься в (m + 1)-у рядку останньої симплексної таблицi в стовпчиках A4 i A5, що вiдповiдають початковому опорному плану. Оскiльки при зведеннi прямої задачi до канонiчної базисної форми ми змiнили знаки на протилежнi

280