vm1

вобмеженнях-нерiвностях, то значення для y¤ i y¤ треба взяти з

µ3 1¶ 1 2 19

;2 , Fmax = fmin = 2 . I

Приклад 8. Розв’язати задачу

f = 5x2 + 7x4 ! min;

8

< ¡10x2 + x3 + x4 = ¡16;

: x1 ¡ 3x2 ¡ 3x4 = ¡12; ¡6x2 ¡ 2x4 + x5 = ¡17;

xj ¸ 0; j 2 f1; : : : ; 5g;

i двоїсту до неї.

J Двоїстою до заданої є задача

F = ¡16y1 ¡ 12y2 ¡ 17y3 ! max;

Розв’яжемо пряму задачу за допомогою двоїстого симплексного методу

281

У першiй симплекснiй таблицi всi ¢j · 0, j 2 f1; : : : ; 5g тобто виконується умова оптимальностi, але в стовпчику A0 є вiд’ємнi числа, найменше з яких дорiвнює ¡17. Це означає, що третiй рядок треба взяти за провiдний. Провiдний стовпчик виберемо за двоїстим

ному (m + 1)-у рядку всi ¢j, як i ранiше, недодатнi. Це означає, що план X¤ = (0; 4; 24; 0; 7) є оптимальним, а fmin = 20.

Оптимальний розв’язок двоїстої задачi Y ¤ = (0; ¡5=3; 0), а

Fmax = 20. I

Приклад 9. Розв’язати задачу

f = 2x1 + 3x2 + 5x4 ! max;

8

< ¡2x1 + x2 ¡ x3 = 12; : x1 + 2x2 + x4 = 10; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x5 = 18;

xj ¸ 0; j 2 f1; : : : ; 5g:

J Помножимо перше i третє рiвняння системи обмежень на (¡1). Тодi одержимо задачу вигляду

f = 2x1 + 3x2 + 5x4 ! max;

8

< 2x1 ¡ x2 + x3 = ¡12; : x1 + 2x2 + x4 = 10;

¡3x1 + 2x2 + x5 = ¡18; xj ¸ 0; j 2 f1; : : : ; 5g:

Розв’язуватимемо цю задачу за допомогою двоїстого симплексного методу

282

2. Скласти двоїсту задачу до заданої задачi лiнiйного програмування, i, розв’язавши за допомогою симплексного методу одну з них, знайти розв’язок другої:

3. За допомогою двоїстого симплексного методу знайти розв’язки заданої та двоїстої до неї задач:

284

ча розв’язку не має, бо цiльова функцiя необмежена зверху; двоїста

285

§6. Задачi транспортного типу

Транспортна задача є однiєю з основних спецiальних моделей лiнiйного програмування. Її мета розробка рацiональних шляхiв i способiв транспортування товарiв, усунення надто довгих, зустрiчних, повторних перевезень, що зменшує витрати пiдприємств, фiрм, якi пов’язанi з процесами постачання сировини, матерiалiв, пального i т.п. До транспортних зводяться також задачi оптимального розмiщення виробництва, складiв, оптимального призначення на посади i т.п.

6.1. Математична постановка транспортної задачi. Розглянемо класичний випадок транспортної задачi. Вона полягає у визначеннi оптимального плану перевезень деякого однорiдного вантажу з m пунктiв вiдправлення (постачальники) A1, A2, : : :, Am у n пунктiв призначення (споживачi) B1, B2, : : :, Bn. При цьому за критерiй оптимальностi беруть або мiнiмальну вартiсть перевезень всього вантажу, або мiнiмальний час його перевезення. Ми розглядатимемо задачу, де за критерiй оптимальностi взято мiнiмальну вартiсть перевезень всього вантажу.

Припустимо, що в пунктi Ai зосереджено ai, i 2 f1; : : : ; mg, одиниць товару, а споживачу Bj потрiбно bj, j = f1; : : : ; ng, одиниць товару i вiдома вартiсть cij перевезення одиницi ван-

тажу з пункту Ai в пункт Bj, i 2 f1; : : : ; mg, j = f1; : : : ; ng. Треба знайти такий план перевезень продукцiї вiд постачаль-

никiв до споживачiв, щоб сумарнi витрати f на транспортування вантажiв були мiнiмальними.

Для побудови математичної моделi розглядуваної задачi введемо змiннi xij, якi визначають обсяг перевезень продукцiї з пункту Ai в пункт Bj, i 2 f1; : : : ; mg, j = f1; : : : ; ng. Матрицю

X = (xij)i2f1;:::;mg ;

j2f1;:::;ng

складену з цих змiнних, називають планом перевезень. Транспортну задачу та її розв’язування зручно подавати у

виглядi транспортної таблицi (матрицi) вигляду

286

Якщо вважати, що весь вантаж треба вивезти з пунктiв вiдправлення Ai, i 2 f1; : : : ; mg, i задовольнити потреби всiх пунктiв призначення Bj, j 2 f1; : : : ; ng, то математична модель транспортної задачi має вигляд

Транспортну задачу називають збалансованою або закритою, якщо виконується умова (5). Якщо ж ця умова не

287

виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою або вiдкритою.

Доведено [14], що збалансованiсть, тобто умова (5) є необхiдною i достатньою умовою iснування розв’язку транспортної задачi (1) – (4).

Якщо умова (5) не виконується, тобто транспортна задача є вiдкритою, то її треба спочатку закрити, збалансувавши поставки й потреби. Робиться це за допомогою введення фiктивного постачальника або фiктивного споживача, в залежностi

ють запаси, то вводиться фiктивний (m + 1)-й пункт вiдправ-

i тарифами cm+1 j = 0, j 2 f1; : : : ; ng.

Очевидно, що транспортна задача (1) – (4) є звичайною задачею лiнiйного програмування i може бути розв’язана симплексним методом. Однак особливостi будови математичної моделi транспортної задачi дозволяють розв’язати її простiше. Легко помiтити, що всi коефiцiєнти при змiнних у рiвняннях

(2) i (3) дорiвнюють одиницi, а самi системи заданi в канонiчнiй формi. Крiм того, система обмежень (2), (3) складається з mn невiдомих та m + n рiвнянь, якi зв’язанi маж собою спiввiдношенням (5). Якщо додати вiдповiдно правi та лiвi частини

288

систем рiвнянь (2) i (3), то отримаємо два однакових рiвняння:

Наявнiсть у системi обмежень двох однакових рiвнянь свiдчить про її лiнiйну залежнiсть. Якщо одне з цих рiвнянь вiдкинути, то в загальному випадку система обмежень мiститиме m + n ¡ 1 лiнiйно незалежних рiвнянь, а тому її можна розв’язати вiдносно m+n¡1 базисних змiнних. Назвемо опорним планом транспортної задачi такий її допустимий план

X = (xij)i2f1;:::;mg , який мiстить не бiльше нiж m + n ¡ 1 до-

j2f1;:::;ng

датних компонент, а всi iншi його компоненти дорiвнюють нулю. Якщо кiлькiсть вiдмiнних вiд нуля компонент дорiвнює m + n ¡ 1, то план називається невиродженим, а якщо менше, то – виродженим.

Опорний план X¤ = (x¤ij)

цiя f набуває свого найменшого значення, називається оптимальним планом транспортної задачi.

Якщо умови транспортної задачi i її опорний план записанi

увиглядi таблицi, то клiтинки, в яких xij > 0, називаються

заповненими, всi iнше – порожнiми.

Заповненi клiтинки вiдповiдають базисним змiнним i для невиродженого плану їхня кiлькiсть дорiвнює m + n ¡ 1.

Зопорним планом тiсно пов’язане поняття циклу. Циклом

утаблицi умов транспортної задачi називається ламана, вершини якої розмiщенi в клiтинках таблицi, а ланки – вздовж рядкiв та стовпчикiв, причому в кожнiй вершинi циклу зустрiчаються тiльки двi ланки, одна з яких знаходиться в рядку, а друга – в стовпчику. Точки самоперетину циклу не є його вершинами.

Вiдносно розташування вершин циклу повиннi виконуватися такi умови:

289

1)в одному рядку (або стовпчику) мiстяться тiльки двi вершини циклу;

2)остання (завершальна) вершина циклу знаходиться в тому самому рядку, що й перша (вихiдна);

3)якщо умовно з’єднати вершини циклу вiдрiзками, то в кожнiй наступнiй вершинi здiйснюється поворот на 900.

При такому тлумаченнi взаємозв’язку мiж вершинами циклу не важливо через скiльки зайнятих або вiльних клiтинок проходять умовнi вiдрiзки.

Доведено [14], що кiлькiсть вершин (клiтинок), якi утворюють будь-який цикл транспортної задачi, завжди парна.

Якщо для певного набору заповнених клiтинок неможливо побудувати цикл, то така сукупнiсть клiтинок є ациклiчною.

Для того щоб деякий план транспортної задачi був опорним, необхiдно i достатньо його ациклiчностi. Звiдси випливає, що будь-яка сукупнiсть з m + n клiтинок таблицi транспортної задачi утворює цикл.

Вироджений опорний план може виникати не лише при його побудовi, але й при його перетвореннях у процесi знаходження оптимального плану. Для того щоб позбутися виродженостi у деякi порожнi клiтинки транспортної задачi в необхiднiй кiлькостi вводять нульовi постачання. Обсяги запасiв постачальникiв i потреб споживачiв при цьому не змiнюються, проте цi клiтинки з нульовим вантажем вважаються заповненими. Головною умовою при введеннi нульових постачань є збереження необхiдної i достатньої умови опорностi плану транспортної за-

290