Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vm1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5 7

; 2) 0 6 3

1; 3)

0 0 ¡2 1 1.

¡1

значення i власнi вектори матрицi:

Знайти власнi@

2 1

; 2)

¡3

; 3)

¡5

; 4) 0 7 1 5 1.

¶ µ

4 1

10. Знайти ранг матрицi:

¡1

1 5

1; 2)

3 2 0 1

11.@Матричним

методом розв’язати систему:

3y + z = 2;

7x + 4y = 8; ; 2) 8 x +¡5y 4z = 5;

5x + 2y = 4;

4x + y ¡

¡4;

2x ¡ y + z = 2;

3z =

3x + 2y + 2z =

< x

2y + z = 1:

12.:Методом¡

Жордана-Гаусса розв’язати систему:

2x1

+ 3x2

= 4;

2x1 ¡ 3x2¡+ 3x3 = 3;

+ 2x2

+ 3x3

= 6;

+ 2x2

2x3

= 2;

: x1

+ x2

¡¡x3

+ x4

= 4;

x3 = 8;

3x1

+ x2

¡4x3

= 0;

< 4x1 + x2

2x1

x2 + 3x3

2x4 = 1;

> x1

¡x3 + 2x4 =¡6;

> x11 ¡3x2 + 2x3¡+ 2x4 = 1;

+ x3

x4 = 0;

3x ¡ x2

3x1

8x2 + 8x3 + 7x4 = 3;

4) >

2x1

4x2 + 8x3 + 8x4 = 0;

2x1 ¡ 3x + 10x3 + 8x4 = 1;

> x1 +¡2x2

2+ 3x3 = 2;

8 x1 ¡ x2 ¡ x3 = ¡2;

< x1 + 3x2

x3 =

13.:Знайти матрицю,¡

¡обернену до даної, використовуючи метод

Жордана-Гаусса:

A @

1 5 3

5 ¡2 ¡3

1) 0

3 9 4

1; 2) 0

6 3

3)	0	1	1	2	1	; 4) 0	0	1	2	4 1.
	0				1		0	0	1	2
	@	2	0	1	A	B	1	2	4	8	C
		0	1	2		B	0	0	0	1	C
						B					C
						@					A

		µ 0 0					¶ µ					Вiдповiдi											¶
		µ 0 0					¶ µ			2 9		¶					µ	3 1					¶
	1.		0 0					. 2.		9 7			. 3. AB =					4 ¡2 .
		@	56	A											6	14								@		5	7		9	A
4. 1)			69												6	14							1			2		1	15
															15	32							1			2		1
		0		1; 2) (31). 5. AB =											15	32			, BA =					0		9	12			1,
			17					¶					µ				¶						4		13		17		21
		µ						¶															4		0		2
		2	7		4			5			14						7		4@					¡			¡		A
		2	0		7			13			14						7		4@				2		2		2		A
AC =			16		7			11	, BC невизначена, C2										=	0			2		2		2		1.
	µ	0 3		¶ µ 21 ¡22								¶				µ¡5 3				¶
6.				. 7.						¡			. 8. 1)						¡			;
2) 0¡38 41 ¡341; 3) 0 ¡5=3 1=3 1																						1. 9. 1) ¸1 = 3, ¸2 =
		1		¡1				1						2		¡1			¡1			A
	@ 27 ¡291							24 A @ ¡ 1											2			A
¡				µ				¶			µ		10=3 5=3						2			g								¡
¡	1, X1			µ			1	¶			µ		1		¶		2 R n f					g	; 2) ¸1 = 1, ¸2 =							¡	1,
	1, X1		= C					, X2 = C					¡		, C					0			; 2) ¸1 = 1, ¸2 =								1,
X1 = C µ				1		¶, X2 = C µ						2	¶, C 2 R n f0g; 3) ¸1 = ¡3, ¸2 = 1;
X1 = C µ				1		¶, X2 = C µ						1	¶, C 2 R n f0g; 3) ¸1 = ¡3, ¸2 = 1;
X1 = C			µ	1	¶, X2 = C					µ 1 ¶, C 2 R n f0g; 4) ¸1 = 0, ¸2 = 1, ¸3 = 2;
				1							3			1, X3 = C					0 1					1, C 2 R n f0g.
X1 = C			0 1				1, X2 = C 0						0	1, X3 = C					0 1					1, C 2 R n f0g.
				3									5									3
				¡4								¡7									¡4
10. 1) 2;@2) 2.						11. 1) (0; 2); 2) (5; 6; 10); 3) (2;															1;		3). 12. 1) (1; 1; 1);
10. 1) 2;@2) 2.							A				@			A					@				¡	A
																			¡				¡

2) несумiсна; 3) (1; 2; 3; 4); 4) x1 = 6¡8x, x2 = 1¡2x3, x4 = ¡1, x3 2 R;

5) (		¡	1; 0; 1). 13. 1)				@	¡7=3 2 ¡1=3						A 0	@	1	¡1	1	A
		¡					@	¡2	1	1		2	1 0	A 0	@	27 ¡29 24			A
							0	5=3	¡1			¡1=3		1; 2)	0	¡38	41	¡34	1;
3)	0		¡	2 4		¡3	1	; 4) 0	0		1		¡2 0		1.
	@		0		1	1	A	B	0	¡			0	1	C
					¡			B	0		0		0	1	C
					¡			B							C
			1		2	2		@						¡	A
			1		2	2								¡

§4. Лiнiйнi моделi

4.1. Застосування алгебри матриць. При розв’язуваннi багатьох економiчних та iнших прикладних задач використовується алгебра матриць.

Приклад 1. Пiдприємство випускає продукцiю трьох видiв

P1, P2, P3 i використовує сировину двох типiв S1

i S2. Норми вит-

1, де кож-

рат сировини характеризуються матрицею A =

ний елемент

ij,

2 f

1; 2; 3

2 f

1; 2

указує,

скiльки одини-

ць сировини j-го типу витрачається на виробництво одиницi продукцiї i-го виду. План випуску продукцiї задано матрицею-рядком

C =	100 80 130	вартiсть одиницi кожного типу сировини –
	¡	¢,B =	µ	30	¶.
матрицею-стовпчиком				50

Знайти витрати сировини, необхiднi для планового випуску продукцiї, а також загальну вартiсть сировини.

J Витрати сировини 1-го типу складають S1 = 2 ¢ 100+ +5 ¢ 80 + 1¢130 = 730, а другого – S2 = 3¢100+2¢80+4¢130 = 980, а це означає, що матрицю-рядок S витрат сировини можна подати у виглядi

¡	100	¢	@	2	3	A		¡	980	¢
				1	4		=
S = CA =		80 130	0	5	2	1		730		:

Тодi сумарна вартiсть сировини
Q = SB = ¡	730 980 ¢µ	30	¶ = (730 ¢ 30 + 980 ¢ 50) = (70900):
		50

Сумарну вартiсть сировини можна обчислити й по-iншому: спочатку обчислимо матрицю вартостей сировини на одиницю продукцiї,


		0	1	4	1	µ	¶	= 0		230	1, а потiм
			2	3		30				210
тобто матрицю R = AB =			5	2		50				250
загальну вартiсть сировини		@			A			@			A
¡	100		80	130		¢@	210	A	= (70900): I
¡						¢@	230	A
Q = CR = C(AB) =						0	250	1

Приклад 2. Галузь складається з n пiдприємств, кожне з яких випускає по одному виду продукцiї в обсязi xi, i 2 f1; :::; ng, одиниць. Для забезпечення свого виробництва пiдприємство використовує частину продукцiї, яка випускається ним самим та iншими пiдприємствами. Нехай aij – частина продукцiї i-го пiдприємства, яка використовується j-им пiдприємством для забезпечення випуску своєї продукцiї обсягом xj одиниць.

Знайти обсяг кiнцевого продукту yj, тобто кiлькiсть продукцiї

j-го пiдприємства для реалiзацiї поза даною галуззю. Розрахунки

. 1

a11

a12

¢ ¢ ¢

a1n

Ba: : :

a: : : : : :

a: : :

провести для випадку, коли X =

x..1

i A = 0 a21

a22

¢ ¢ ¢

a2n

мають вiдповiдно вигляд

¢ ¢ ¢

nn C

400

0; 4

0; 2

0; 3

X =

200

A =

0; 1

0; 2

500

;

0; 3

0; 5

0; 2

J Позначимо через Y матрицю-стовпчик

0 y1 1

Y = B .. C:

@ . A yn

Очевидно, що yi = xi ¡ Pn aijxj, i 2 f1; :::; ng, або в матричнiй формi

j=1

Y= X ¡ AX, тобто Y = (E ¡ A)X, де E – одинична матриця.

Унашому випадку маємо

Y =	0	¡0; 3	1 ¡ 0; 5	¡0; 2	10	500	1	=
	@	1 ¡ 0; 4	¡0; 2	¡0; 3	A@	400	A
	@	¡0; 1	¡0; 2	1 ¡ 0; 2	A@	200	A

=	0	¡120 + 250 ¡ 40	1	=	0	90	1	:
		240 ¡ 100 ¡ 60	A		@	80	A
	@ ¡40 ¡ 100 + 160		A		@	20	A

Приклад 3. Контакти першого i другого порядкiв у епiдемiологiї. Припустимо, що троє осiб захворiли деякою хворобою. Другу групу з шести осiб опитують з метою з’ясування, хто з них мав контакт з трьома хворими. Потiм опитують третю групу з

семи осiб, щоб з’ясувати їхнi контакти з ким-небудь iз шести осiб другої групи. Описати можливi контакти (прямi та непрямi) осiб другої i третьої груп мiж собою та з хворими першої групи.

J Визначимо матрицю A = (aik) i2f1;2;3g , покладаючи aik = 1,

k2f1;:::;6g

якщо k-та особа другої групи знаходилася в контактi з i-ою хворою особою з першої групи, i aik = 0 – у протилежному випадку. Ана-

логiчно визначимо матрицю B = (bkj)k2f1;:::;6g , покладаючи bkj = 1,

j2f1;:::;7g

якщо k-та особа третьої групи знаходилася в контактi з j-ою особою з другої групи, i bkj = 0 – у протилежному випадку. Цi двi матрицi описують схему контактiв першого порядку мiж групами.

Нас можуть цiкавити також непрямi контакти, або контакти другого порядку, мiж особами третьої групи i хворими з першої групи.

Цi контакти описує добуток матриць C = AB, де cij = aikbkj -

k=1

кiлькiсть контактiв другого порядку мiж j-ою особою третьої групи та i-ою особою з групи хворих.

Нехай матрицi A i B мають, наприклад, вигляд

	@		0	0		1		0		1	0	A
	@		0	0		1		1		0	1	A
A = 0			1	0 0			1		0		0	1;
	0	0		0	1		1		0		0	0	1
B =	B	0		0	1		0		0		1	0	C	:
B =	B	0 0 1 1 0 0 0											C	:
	B	0		1	0		1		0		0	0	C
	B	0		1	0		1		0		0	0	C
	B	1		0	0		0		0		1	1	C
	B	1		0	0		0		0		1	0	C
	B												C
	@												A

У даному випадку a24 означає, що четверта особа другої групи знаходилася в контактi з другим хворим першої групи. Аналогiчно, b33 = 0 означає, що третя особа з третьої групи не контактувала з третьою особою другої групи.

Знайдемо матрицю C

C = AB =	0 0		0	2	1	1	0 1		:
	@	1	1	0	1	1	1	A
	@	2	0	1	1	2	1	A

Елемент c23 = 2 показує, що є два контакти другого порядку мiж третьою особою третьої групи i другою хворою особою. Зауважимо, що у шостої особи з третьої групи виявилося 1 + 1 + 2 = 4 непрямих

контактiв з iнфiкованими хворими. Таких контактiв немає лише у

п’ятої особи. I

Приклад 4. Застосування матриць в географiї. У географiї матрицi широко використовуються при вивченнi географiчних сiток. Зокрема, у фiзичнiй географiї розглядають рiчковi системи, якi класифiкують за водостоками, враховуючи кiлькiсть та довжину приток. Для цього зображують дiлянку рiчкової сiтки в матричнiй формi вiдповiдно до кiлькостi приток (ребра), якi зустрiчаються у точках їхнього злиття (вузли).

Розглянемо деяку просту рiчкову сiтку. Занумеруємо ребра числами вiд 1 до 5, а вузли – буквами вiд a до f. Запишемо матрицi, що характеризують дану рiчкову сiтку. Елементи цих матриць – це або одиницi, або нулi в залежностi вiд того, чи зв’язанi мiж собою притоки (вузли) чи нi.

2		1 2 3 4 5							0	a b c d e f
2		0	0	1	1	0		b	0	1	0	1	0	1	0 1
1		0	0	0	1	1		a	B	0	1	0	0	0	0	C
1	B	0	0	0	1	1	C
3		0	1	0	1	0		d		0	0	0	0	1	0		:
4		1	1	1	0	1		e	B	0	1	0	1	0		C
	B						C	e	B	0	1	0	1	0	1 C
	0						1	c		0	1	0	0	0	0
5	B	1	0	0	1	0	C	f	B	0	0	0	0	1	0	C
	B						C	f	B	0	0	0	0	1	0	C
	@						A		B							C
		Матриця ребер							@	Матриця вузлiв						A

J У матрицi ребер, наприклад, видно, що притока 2 безпосередньо зв’язана з притоками 3 i 4, а з притоками 1 i 5 не зв’язана. Аналогiчно з матрицi вузлiв випливає, що вузол d безпосередньо зв’язаний

звузлом e, але не зв’язаний з iншими вузлами, а вузол b зв’язаний

звузлами a, c та e.

Кожна з цих матриць є симетричною, але очевидно, що ця симетричнiсть втрачається, якщо ми хочемо вiдобразити у якому напрямку тече рiчка. Це означає, що зв’язок в одному iз напрямкiв є неможливим. Умовно даний факт вiдобразимо так: рядки визначають течiю "iз" a, b, c i т.д., а стовпчики – течiю "в" a, b, c i т.д. Оскiльки можливi зв’язки лише iз 1 в 5 або iз f в e, то в кожнiй з наведених матриць деякi зв’язки втрачаються. Тому матрицi матимуть у цьому випадку вигляд

	0	1	2	3	4	5	1
2	0	0	0	0	1	0	1
1	B	0	0	0	0	1	C
4	B	0	0	0	0	1	C
5	B	0	0	0	0	0	C
5	B	0	0	0	0	0	C
3	B	0	0	0	1	0	C
	@						A

a 0 0a

b BB 0 c BB 0 d BB 0 e @ 0

b	c	d	e	f	1
0	1	0	0	0	1
1	0	0	0	0	C	:
0	0	0	1	0	C	:
1	0	0	0	0	C
1	0	0	0	0	C
0	0	0	0	0	C
					C
					A
0	0	0	1	0	C

Сума елементiв в кожному стовпчику дає загальну кiлькiсть приток, що впадають у кожну рiчку. В нашому випадку маємо по двi притоки – ребра 4 i 5 та два вузли b i e.

Змiни рiчкової сiтки можна подати за допомогою додавання i вiднiмання матриць.

Запропонований матричний метод можна використовувати й для iнших характеристик рiчкової сiтки,наприклад, описання витрат води, розмiрiв русла i т.п. I

4.2. Застосування систем лiнiйних рiвнянь. Наведемо приклади задач економiки, математичнi моделi яких описуються системами лiнiйних рiвнянь.

Приклад 5. Завод спецiалiзується з випуску чотирьох видiв виробiв P1, P2, P3 i P4. При цьому використовується сировина чотирьох типiв S1, S2, S3 i S4. Норми витрат кожної з них на одиницю продукцiї вiдповiдного виду задано таблицею

Вид	Норми витрат одиниць				Витрати
сиро-	сировини на одиницю продукцiї				сировини
вини	P1	P2	P3	P4	на 1 день, ум.од
S1	1	2	1	0	8
S2	0	1	3	1	15
S3	4	0	1	1	11
S4	1	1	0	5	23

Знайти щоденний обсяг випуску продукцiї кожного виду.

J Нехай завод випускає xj одиниць продукцiї Pj, j 2 f1; :::; 4g. Тодi, згiдно з нормами витрат сировини кожного типу, маємо систему

рiвнянь		+ 2x	+ x	= 8;
	>
		x1x2 + 32x3 +3x4		= 15;
	8
	<
	>	4x1 + x3 + x4 = 11;
	>
	:		+ 5x4	= 23:
	> x1 + x2

Розв’яжемо цю систему методом Жордана-Гаусса

A1		A2	A3	A4	A0
	1	2	1	0	8
	0	1	3	1	15
4		0	1	1	11
1		2	0	5	23
1		2	1	0	8
0		1	3	1	15
0		¡8	¡3	1	¡21
0		¡1	¡1	5	15
1		0	¡5	¡2	¡22
0		1	3	1	15
0		0	21	9	99
0		0	2	6	30	:

A1	A2	A3	A4	A0
1	0	0	13	53
0	1	0	¡8	¡30
0	0	0	¡54	¡216
0	0	1	3	15
1	0	0	0	1
0	1	0	0	2
0	0	0	1	4
0	0	1	0	3

Отже, завод випускає в день 1 ум.од. продукцiї P1; 2 ум.од. про-

дукцiї P2; 3 ум.од. продукцiї P3 i 4 ум.од. продукцiї P4. I Приклад 6. Для виплати заробiтної платнi працiвникам чоти-

рьох категорiй B1, B2, B3 i B4 видiлено купюри таких вартостей: 1850 купюр по 100 грн., 230 купюр по 50 грн., 250 купюр по 10 грн. i 740 купюр по 1 грн. Заробiтна платня працiвника категорiї B1 складає 962 грн., категорiї B2 – 713 грн., категорiї B3 – 452 грн., категорiї B4 – 261 грн.

Визначити скiльки працiвникiв даної категорiї працює на пiдприємствi, якщо кожному з них видали заробiтну платню мiнiмальним числом купюр.

J Оскiльки оплата проводиться мiнiмальним числом купюр, то таблиця розподiлу купюр рiзної вартостi, якi видають спiвробiтникам рiзних категорiй, має вигляд

Вартiсть		Розподiл купюр			Загальна
купюри,		по категорiях			кiлькiсть
грн.	B1	B2	B3	B4	купюр
100	9	7	4	2	1850
50	1	–	1	1	230
10	1	1	–	1	250
1	2	3	2	1	740

Нехай xj – кiлькiсть працiвникiв категорiї Bj, j 2 f1; 2; 3; 4g. Тодi за даними наведеної вище таблицi матимемо систему рiвнянь

балансу					9x1 + 7x2 + 4x3 + 2x			= 1850;
				>	9x1 + 7x2 + 4x3 + 2x			= 1850;
				>	x1 + x3 + x4 =4230;
				8	x1 + x3 + x4 =4230;
				<
				>	x1 + x2	+ x4 = 250;
				:	2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 740:
				>	2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 740:
Розв’яжемо				одержану систему методом Жордана-Гаусса.
Розв’яжемо				>
A1	A2	A3		A4	A0	A1	A2	A3	A4	A0
9	7	4		2	1850	0	0	1	¡7=2	¡180
1	0	1		1	230	1	0	0	9/2	410
1	1	0		1	250	0	1	0	¡7=2	¡160
2	3	2		1	740	0	0	0	19/2	760

0	7	¡5		¡7	¡220	0	0	1	0	100
1	0	1		1	230	1	0	0	0	50
0	1	¡1		0	20	0	1	0	0	120
0	3	0		¡1	280	0	0	0	1	80
0	0		2	¡7	¡360
1	0		1	1	230
0	1	¡1		0	20
0	0	3		¡1	220 .

Отже, працiвникiв категорiї B1 на пiдприємствi працює 50 осiб, категорiї B2 – 120 осiб, категорiї B3 – 100 осiб i категорiї B4 – 80 осiб. I

4.3. Модель Леонтьєва багатогалузевої економiки. Метою балансового аналiзу є вiдповiдь на питання, яке виникає в макроекономiцi й пов’язане з ефективнiстю ведення багатогалузевого господарства: яким повинен бути обсяг виробництва кожної з n галузей, щоб задовольнити всi потреби в продукцiї даної галузi? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник деякої продукцiї, а з другого – як споживач продукцiї i своєї, i виробленої iншими галузями.

Припустимо, що є n галузей промисловостi, кожна з яких виробляє свою продукцiю. Частина продукцiї йде на споживання всерединi даної галузi, а також iншими галузями, а друга частина – для реалiзацiї (споживання) у невиробничiй сферi.

Розглянемо процес виробництва за деякий промiжок часу, наприклад, рiк.

Введемо такi позначення: xi – сумарний (валовий) обсяг продукцiї i-ої галузi, yi – обсяг кiнцевого продукту i-ої галузi для невиробничого споживання (i 2 f1; :::; ng), xij – обсяг продукцiї i-ої галузi, що споживається j-ою галуззю в процесi виробництва (fi; jg ½ f1; :::; ng).

Балансовий принцип зв’язку мiж рiзними галузями промисловостi полягає в тому, що валовий випуск i-ої галузi повинен дорiвнювати сумi обсягiв споживання у виробничiй i невироб-

ничiй сферах, тобто
xi = xi1 + xi2 + ::: + xin + yi; i 2 f1; :::; ng:	(25)

Цi рiвняння називаються спiввiдношеннями балансу. Розглядатимемо вартiсний мiжгалузевий баланс, коли всi величини, якi входять до рiвностi (25), мають вартiсне вираження.

Уведемо коефiцiєнти прямих витрат

aij =	xij	; fi; jg ½ f1; :::; ng;	(26)
	xj

якi виражають витрати продукцiї i-ої галузi на виробництво одиницi продукцiї j-ої галузi. Леонтьєвим було помiчено, що протягом довгого часу величини aij змiнюються мало, i тому їх можна вважати сталими й залежними лише вiд технологiї виробництва. Це означає лiнiйну залежнiсть матерiальних вит-

рат вiд валового випуску, тобто xij = aijxj (fi; jg ½ f1; :::; ng). При цьому спiввiдношення балансу набувають вигляду

xi = ai1x1 + ai2x2 + ::: + ainxn + yi; i 2 f1; :::; ng: (27)

Розглядатимемо матрицю-стовпчик X обсягiв виробленої продукцiї (матриця валового випуску), матрицю Y обсягiв продукцiї кiнцевого споживання (матриця кiнцевого споживання),

а також матрицю A коефiцiєнтiв прямих витрат:

X =

0 x2

;

Y =

0 y2

; A =

0 a21

a22

:::

a2n

a11

a12

:::

a1n

B x

B y

B an1

an2

:::

ann

B n

:::

: : :

B ...

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.08.201972 Кб3Vidy_narkoticheskikh_veshestv.doc
#
09.08.2019171 Кб2Vijdij_trydovogo_dogovory.doc
#
01.05.2025264 Кб1Vikova_shpora.docx
#
01.07.2025131 Кб4Virobnicha_praktika.docx
#
01.07.2025187 Кб1Vizantiya.doc
#
28.02.20162 Мб32vm1.pdf
#
01.05.2025185 Кб0Vnimanie.doc
#
01.07.2025275 Кб0Voleybol.doc
#
01.07.202529 Кб0Voprosy_k_zachetu.docx
#
01.07.202566 Кб0vse-1.docx
#
01.07.202513 Кб1vstup_do_special_39_nosti_1-20.docx