vm1

Операцiї множення матрицi на число i додавання матриць мають такi властивостi:

а) A + B = B + A (комутативний закон);

б) A+(B+C) = (A+B)+C (асоцiативний закон додавання); в) (¸+¹)A = ¸A+¹A i ¸(A+B) = ¸A+¸B (дистрибутивний

де число стовпчикiв матрицi A дорiвнює числу рядкiв матрицi

B.

Добутком цих двох матриць A i B називають третю

матрицю C, елементи cij, i 2 f1; : : : ; mg, j 2 f1; : : : ; kg, якої дорiвнюють сумi добуткiв елементiв i-го рядка матрицi A на

вiдповiднi елементи j-го стовпчика матрицi B, тобто C = A B,

Наступний приклад показує, що добуток матриць не володiє властивiстю комутативностi, тобто AB =6 BA i, крiм того, добуток матриць може дорiвнювати нулю навiть у тому випадку, коли жодна з них не є нульовою матрицею.

52

тобто AB =6 BA. I

Одинична матриця при множеннi матриць має властивiсть:

для довiльної квадратної матрицi A правильна рiвнiсть

AE = EA = A:

Доводиться, що коли A i B двi квадратнi матрицi одного й того самого порядку з визначниками jAj i jBj, то визначник матрицi C = AB дорiвнює добутку визначникiв спiвмножникiв, тобто jCj = jAj jBj.

Добуток матриць має властивостi:

1)(A + B)C = AC + BC;

2)C(A + B) = CA + CB;

3)A(BC) = (AB)C;

4)(AB)T = BT AT .

3.3. Обернена матриця.Нехай A – квадратна матриця, визначник якої jAj =6 0.

Оберненою до матрицi A називається матриця A¡1, яка задовольняє спiввiдношення A¡1A = AA¡1 = E, де E – одинична матриця.

53

Доводиться, що коли матриця A квадратна i невироджена, то обернена матриця A¡1 iснує та єдина. Знаходиться A¡1 за формулою

Оскiльки jAj 6= 0, то матриця A невироджена i, отже, для неї iснує обернена.

Знайдемо алгебраїчнi доповнення Aij елементiв aij, fi; jg ½ f1; 2; 3g:

54

Тодi згiдно з формулою (15) маємо

Наведемо деякi властивостi оберненої матрицi.

Властивiсть 1. Визначник оберненої матрицi дорiвнює

оберненiй величинi визначника даної матрицi, тобто jA¡1j = jA1j.

Властивiсть 2. Обернена матриця добутку квадратних матриць дорiвнює добутку обернених матриць-множникiв,

узятих у зворотному порядку, тобто (AB)¡1 = B¡1A¡1.

J Справдi, AB(B¡1A¡1) = A(BB¡1)A¡1 = AEA¡1 = AA¡1 = E i (B¡1A¡1)AB = B(AA¡1)B¡1 = BEB¡1 = BB¡1 =

E.

Отже, B¡1A¡1 є оберненою матрицею для AB. I

Властивiсть 3. Матриця, яка є транспонованою до обер-

неної матрицi, дорiвнює оберненiй матрицi до транспонованої, тобто (A¡1)T = (AT )¡1.

3.4. Матричний запис i матричний розв’язок системи лiнiйних рiвнянь. Нехай задано систему n лiнiйних алгебраїчних рiвнянь iз n невiдомими

8

> a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1;

>

< a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2; (16)

> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

: an1x1 + an2x2 + : : : + annxn = bn:

55

Позначимо через A матрицю з коефiцiєнтiв при невiдомих, через X – матрицю-стовпчик з невiдомих i через B – матрицюстовпчик iз вiльних членiв:

Припустимо, що матриця A – невироджена, тобто jAj =6 0, тодi iснує обернена матриця A¡1. Помножимо злiва обидвi частини рiвностi (17) на A¡1:

Отже, матриця-стовпчик iз невiдомих дорiвнює добутку оберненої матрицi A¡1 на матрицю-стовпчик вiльних членiв.

Рiвнiсть (17) називається матричним рiвнянням або

матричним записом системи (16), а (18) – матричним

розв’язком цiєї системи.

Приклад 6. Розв’язати за допомогою матричного методу си-

5¡1 ¡3

0 ¡1 1

= @ 1 A; 0

тобто x1 = ¡1, x2 = 1, x3 = 0.I

Розв’язання систем лiнiйних рiвнянь за допомогою матричного методу ефективне тодi, коли лiва частина системи залишається незмiнною, а змiнюється лише стовпчик iз вiльних членiв. Справдi, замiсть того, щоб кожного разу розв’язувати нову систему, можна скористатись матричним методом, обчислити A¡1, а потiм за формулою (18) знаходити новi значення невiдомих при кожному змiненому стовпчику з вiльних членiв.

3.5. Власнi значення i власнi вектори матрицi. Ненульовий вектор-стовпчик (матриця-стовпчик)

57

матрицi A n-го порядку, якщо iснує таке число ¸ – власне значення матрицi A, що AX = ¸X або (A ¡ ¸E)X = 0.

Власнi вектори знаходимо як розв’язки однорiдної системи рiвнянь (A ¡ ¸E)X = 0, яку можна записати в розгорнутому

Ненульовi розв’язки цiєї системи iснують, як зазначено вище, тодi й тiльки тодi, коли її визначник jA ¡ ¸Ej = 0, тобто

ням матрицi A. Розв’язавши характеристичне рiвняння, отримаємо власнi значення матрицi, а пiсля цього iз системи (19) для даних власних значень – її ненульовi розв’язки, тобто влас-

нi вектори.

Приклад 7. Знайти власнi вектори i власнi значення матрицi

iншi – нi.

Рангом матрицi називають найбiльший порядок мiнора даної матрицi, який не дорiвнює нулю, тобто натуральне число r називають рангом матрицi A, якщо серед мiнорiв r-го порядку цiєї матрицi є принаймнi один вiдмiнний вiд нуля, а всi мiнори (r + 1)-го порядку i вищого дорiвнюють нулю. Той факт, що натуральне число r є рангом матрицi A, записують так: rang(A) = r або r(A) = r.

При знаходженнi рангу матрицi використовують спецiальнi прийоми, якi базуються на елементарних перетвореннях матриць. До елементарних перетворень матриць належать:

1)множення всiх елементiв будь-якого рядка (стовпчика) на одне й те саме число, вiдмiнне вiд нуля;

2)додавання до елементiв будь-якого рядка (стовпчика) вiдповiдних елементiв iншого рядка (стовпчика), помножених на одне й те саме число;

3)переставляння мiсцями будь-яких двох рядкiв (стовпчи-

кiв);

4)дописування або викреслювання рядка (стовпчика), що повнiстю складається з нулiв.

Двi матрицi називаються еквiвалентними, якщо вiд однiєї

зних можна перейти до iншої за допомогою скiнченного числа елементарних перетворень. Еквiвалентнi матрицi, взагалi кажучи, не рiвнi, але вони мають однаковий ранг, що iстотно

використовується при обчисленнi рангу матрицi.

Приклад 8. Знайти ранг матрицi

60