vm1

розгляду стовпчик B3. Далi у клiтинку (1, 4) помiщаємо 20 од. вантажу – i виключаємо з розгляду стовпчик B4. Наступною заповнюємо клiтинку (3, 2) i виключаємо з розгляду рядок A3. Продовжуючи заповнення клiтинок за зростанням вартостi перевезень, одержимо початковий опорний план

Оскiльки n + m ¡ 1 = 4 + 3 ¡ 1 = 6 i заповнених клiтинок шiсть, то план невироджений.

Знайдемо потенцiали ®i, i 2 f1; 2; 3g, ¯j, j 2 f1; 2; 3; 4g, склавши для заповнених клiтинок систему рiвнянь

Якщо взяти ®1 = 0, то матимемо ®1 = 0, ¯1 = 3, ¯2 = 2, ¯4 = 1,

®2 = 1, ¯3 = 2, ®3 = 0.

Для порожнiх клiтинок обчислюємо оцiнки dij:

d13 = 2 ¡ 0 ¡ 4 = ¡2; d22 = 2 ¡ 1 ¡ 3 = ¡2; d24 = 1 ¡ 1 ¡ 5 = ¡5; d31 = 3 ¡ 0 ¡ 3 = 0; d33 = 2 ¡ 0 ¡ 4 = ¡2; d34 = 1 ¡ 0 ¡ 4 = ¡3:

Маємо, що всi dij · 0, а це означає, що план оптимальний:

fmin = 3 ¢ 25 + 2 ¢ 5 + 1 ¢ 20 + 2 ¢ 5 + 1 ¢ 35 + 2 ¢ 20 = 190 гр. од.

Оскiльки d31 = 0, то оптимальний план не єдиний. Для знаходження другого оптимального плану в клiтинку (3, 1) треба помiстити певний вантаж, зробивши перерозподiл вантажу серед клiтинок, якi зв’язанi з нею циклом

301

Отже, другий оптимальний план має вигляд

Звiдси випливає, що сукупнiсть усiх розв’язкiв заданої задачi знаходиться за формулою

а

fmin = 190 гр. од. I

Вправи

1. Знайти опорнi плани пропонованих транспортних задач методом пiвнiчно-захiдного кута, мiнiмальної вартостi та подвiйної переваги

302

2. У пунктах постачання A1, A2, A3 є однорiдний вантаж в обсязi 250, 350, 300 одиниць вiдповiдно: цей вантаж треба перевезти у пункти B1, B2, B3 i B4 в обсязi вiдповiдно 180, 220, 230 i 270 од. Матриця перевезень одиницi вантажу має вигляд

Знайти оптимальний план перевезень, тобто такий план, для якого сума транспортних витрат є мiнiмальною.

3. Знайти оптимальний розв’язок транспортної задачi:

303

fmin = 2040.

304

Лiтература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984. – 192 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1987. – 256 с.

3.Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

4.Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов: Пер.

сангл. – М.: Высшая школа, 1983. – 383 с.

5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1980. – 320 с., Ч. 2. – М.: Высшая школа, 1980. – 365 с.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968. – 232 с.

7.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000. – 688 с.

8.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989. – 656 с.

9.Кулiнiч Г.Л., Максименко Л.О., Плахотник В.В., Призва Г.Й. Вища математика: основнi означення, приклади i задачi: Навчальний посiбник. – К.: Либiдь, 1992. – 228 с.

10.Лавренчук В.П., Готинчан Т.I., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. Частина 1. Лiнiйна алгебра, аналiтична геометрiя, математичний аналiз: Навчальний посiбник. – 3-є вид., виправлене. – Чернiвцi: Рута, 2007. – 224 с.

11.Лавренчук В.П., Готинчан Т.I., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. Частина 3. Математичне програмування: Навчальний посiбник. – 3-є вид., виправлене. – Чернiвцi: Рута, 2007. – 176 с.

12.Лавренчук В.П., Готинчан Т.I., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. Курс лекцiй у трьох частинах. Частина 1. Лiнiйна алгебра, аналiтична геометрiя, математичний аналiз: Навчальний посiбник. – Чернiвцi: Рута, 2007. – 440 с.

305

13.Лавренчук В.П., Готинчан Т.I., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. Курс лекцiй у трьох частинах. Частина 3. Математичнi методи дослiдження операцiй: Навчальний посiбник. – Чернiвцi: Рута, 2007. – 296 с.

14.Наконечний С.I., Савiна С.С. Математичне програмування: Навчальний посiбник. – К.: КНЕУ, 2003. – 452 с.

15.Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1985. – 471 с.

16.Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики (в двух томах). Т. 1. – М.: Высшая школа, 1978. – 384 с., Т.2. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с.

306

308

прямої на площинi 159 Основний прямокутник гiпербо-

канонiчний вигляд квадрали 181

310