vm1

де x1 – кiлькiсть автомобiлiв типу A, x2 – кiлькiсть автомобiлiв типу B, X¤ = (10; 10), fmin = 130 гр.од.

261

Вважатимемо, що величини bi, aij, cj, i 2 f1; : : : ; mg, j 2 f1; : : : ; ng, мають той самий змiст, що й в задачi (1) – (3). Нехай,

крiм того, сировину можна направити або на виготовлення продукцiї, або на продаж iншому пiдприємству. Запитується, яку мiнiмальну цiну треба встановити за одиницю сировини Si, i 2 f1; : : : ; mg, щоб прибуток вiд реалiзацiї усiх запасiв сировини був не меншим, нiж прибуток вiд реалiзацiї продукцiї, яку можна виробити з цiєї сировини.

Якщо позначити через yi, i 2 f1; : : : ; mg, шукану цiну одиницi сировини типу Si, i 2 f1; : : : ; mg, то прибуток, який ми одержимо вiд продажу сировини необхiдної для виготовлення одиницi продукцiї Pj, дорiвнюватиме

Xm

aijyi; j 2 f1; : : : ; ng;

i=1

а прибуток вiд реалiзацiї усiх запасiв сировини становитиме

Xn

biyi:

i=1

Щоб продаж сировини був не менш вигiдний, нiж реалiзацiя готової продукцiї, виготовленої з неї, повинна виконуватися

нерiвнiсть

Xm

aijyi ¸ cj; j 2 f1; : : : ; ng:

i=1

Будь-яка система цiн yi, i 2 f1; : : : ; mg, установлених iз врахуванням цiєї умови, задовольняє iнтереси продавця сировини. Зрозумiло, що врахування iнтересiв покупця вимагає вибору такої системи цiн, яка мiнiмiзує сумарну вартiсть сирови-

ни, тобто

Xn

F = biyi ! min :

i=1

263

Xm

xj ¸ 0 Ã! aijyi ¸ cj; j 2 f1; : : : ; ng:

i=1

Це означає, що кожному обмеженню однiєї задачi вiдповiдає змiнна з тим самим номером iншої задачi, а кожнiй змiннiй однiєї задачi вiдповiдає обмеження з тим самим номером iншої задачi.

5.2. Рiзнi вигляди математичних моделей двоїстих задач.

Розглянемо канонiчну задачу

Описанi в попередньому пунктi правила побудови двоїстої задачi для випадку симетричної задачi можна застосувати i до задачi (9), записавши її у виглядi симетричної задачi. Доведено, що двоїста задача до задачi (9) має вигляд:

F = Y A0 ! min;

де на вектор Y не накладається умова невiд’ємностi. Взаємно двоїстi задачi (9), (10) називають несиметричними, оскiльки в прямiй задачi система обмежень задана рiвностями, а в двоїстiй – нерiвностями, у прямiй задачi всi змiннi невiд’ємнi, а в двоїстiй можуть бути й вiд’ємними.

Отже, взаємно двоїстi задачi бувають двох типiв: симетричнi й несиметричнi.

Симетричнi задачi

Тому спершу нiж записати двоїсту задачу до заданої прямої задачi, систему обмежень прямої задачi слiд звести до вiдпо-

вiдного вигляду.

Приклад 1. Записати двоїсту задачу до заданої:

f = 2x1 + x2 + 5x3 ! min;

8

< x1 ¡ x2 ¡ x3 · 4;

: x1 ¡ 5x2 + x3 ¸ 5;

2x1 ¡ x2 + 3x3 ¸ 6; xj ¸ 0; j 2 f1; 2; 3g:

J Запишемо цю задачу у виглядi 2), помноживши першу нерiвнiсть в обмеженнях на (¡1):

f = 2x1 + x2 + 5x3 ! min;

8

< ¡x1 + x2 + x3 ¸ ¡4;

: x1 ¡ 5x2 + x3 ¸ 5;

2x1 ¡ x2 + 3x3 ¸ 6; xj ¸ 0; j 2 f1; 2; 3g:

Тодi двоїста задача до одержаної має вигляд

F = ¡4y1 + 5y2 + 6y3 ! max;

266

8

< ¡y1 + y2 + 2y3 · 2;

:y1 ¡ 5y2 ¡ y3 · 1; y1 + y2 + 3y3 · 5;

yi ¸ 0; i 2 f1; 2; 3g:

Оскiльки ми множили першу нерiвнiсть вихiдної задачi на (¡1), то в отриманiй двоїстiй задачi треба знак в y1 змiнити на протилежний. Отже, двоїстою до вихiдної буде така задача:

F = 4y1 + 5y2 + 6y3 ! max;

8

< y1 + y2 + 2y3 · 2;

:¡y1 ¡ 5y2 ¡ y3 · 1;

¡y1 + y2 + 3y3 · 5;

y1 · 0; y2 ¸ 0; y3 ¸ 0: I

Приклад 2. Пряма задача має вигляд

f = 2x1 ¡ x2 + x3 + 5x4 ! max;

8

< 3x1 ¡ 4x2 + 2x3 ¡ x4 · 5;

: ¡2x1 + x2 ¡ x3 + 2x4 = 6; x1 ¡ 4x2 + x4 ¸ 0;

x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 · 0:

Записати двоїсту до неї.

J Перше i друге обмеження двоїстої задачi будуть зi знаками "¸ бо x1 ¸ 0 i x2 ¸ 0, третє обмеження двоїстої задачi – зi знаком "· бо x3 · 0, а четверте – зi знаком "= бо для x4 не накладено обмеження на знак. Отже,

F = 5y1 + 6y2 ! min;

При цьому y1 ¸ 0, оскiльки перше обмеження прямої задачi має знак "· y3 · 0, бо третє обмеження прямої задачi має знак "¸ а

267

обмеження на знак y2 не накладається через те, що друге обмеження у прямiй задачi має знак "=". I

5.3. Основнi теореми двоїстостi. Зв’язок мiж розв’язками прямої та двоїстої задач встановлюють теореми двоїстостi. Розглянемо задачi (1) – (3) i (5) – (7) з економiчною iнтерпретацiєю, наведеною в пунктi 5.1.

Теорема 1. Для довiльних допустимих розв’язкiв X i Y вiдповiдно прямої та двоїстої задач правильна нерiвнiсть

J Оскiльки X є допустимим планом задачi (4), то AX · A0 i X ¸ 0. З того, що Y допустимий план задачi (8), випливають нерiвностi Y A ¸ C, Y ¸ 0. Тому Y AX · Y A0, Y AX ¸ CX, а

отже, CX · Y AX · Y A0, тобто f(X) · F (Y ). I

Нерiвнiсть (11) називається основною нерiвнiстю теорiї двоїстостi. Економiчний змiст її полягає в тому, що при довiльному допустимому планi виробництва X загальна вартiсть всiєї продукцiї не перевищує оцiнки всiх ресурсiв, яка вiдповiдає довiльному допустимому плану оцiнок Y .

Теорема 2. Нехай X¤ i Y ¤ допустимi плани прямої (4) i двоїстої (8) задач такi, що

Тодi план X¤ є оптимальним планом прямої задачi, а план Y ¤ – оптимальним планом двоїстої задачi.

J Поряд з планом X¤ розглянемо довiльний допустимий

план X прямої задачi (4). Згiдно з теоремою 1 i рiвнiстю (12) маємо f(X) · F (Y ¤) = f(X¤), а це означає, що X¤ – оптималь-

ний план прямої задачi.

Аналогiчно, якщо розглянути поряд з Y ¤ довiльний допустимий план Y двоїстої задачi (8), то матимемо F (Y ) ¸ f(X¤) = F (Y ¤), тобто Y ¤ є оптимальним планом задачi (7). I З цiєї теореми випливає, що коли серед допустимих розв’язкiв задач (4) i (8) знайдуться вектори X¤ i Y ¤, якi задовольняють умову(12), то вони будуть оптимальними розв’язками вiдповiдних задач. З економiчної точки зору це

268

означає, що плани виробництва i оцiнки ресурсiв є оптимальними, коли цiна всiєї продукцiї i сумарна оцiнка ресурсiв однаковi.

Теорема 3 (перша теорема двoїстостi). Якщо одна з пари взаємно двоїстих задач має оптимальний розв’язок, то має оптимальний план й друга задача, причому для оптимальних розв’язкiв значення цiльових функцiй обох задач збiгаються.

Якщо цiльова функцiя однiєї з пари двоїстих задач необмежена (для прямої задачi – зверху, а для двоїстої – знизу), то

друга задача не має допустимих планiв.

Приклад 3. Для задачi

f = ¡2x1 ¡ 3x2 ! min;

½ ¡4x1 + 2x2 ¸ 4; x1 + x2 ¸ 6;

x1 ¸ 0; x2 ¸ 0

записати двоїсту й розв’язати обидвi задачi. J Двоїста задача до заданої має вигляд

F= 4y1 + 6y2 ! max;

½¡4y1 + y2 · ¡2;

269

З рис. 1 випливає, що пряма задача не має оптимального розв’язку, бо цiльова функцiя f необмежена знизу на множинi допустимих планiв -.

Двоїста задача не має допустимих планiв, як видно з рис. 2, бо многокутник розв’язкiв є порожньою множиною. I

Зауваження. Твердження, обернене до другої частини теореми 3, взагалi кажучи, неправильне, тобто з того, що умови вихiдної задачi суперечливi, не випливає, що цiльова функцiя двоїстої задачi необмежена. Двоїста задача може так само не мати допустимих планiв.

З’ясуємо економiчний змiст першої теореми двоїстостi. Максимальний прибуток fmax пiдприємство отримує,

коли випуск продукцiї органiзовано за оптимальним планом

X¤ = (x¤1; x¤2; : : : ; x¤n). Таку саму сума Fmin = fmax воно може мати, реалiзувавши ресурси за оптимальними цiнами Y ¤ =

(y1¤; y2¤; : : : ; ym¤ ). Якщо ж використовуються iншi допустимi плани X =6 X¤ i Y =6 Y ¤, то згiдно з основною нерiвнiстю теорiї двоїстостi можна стверджувати, що прибутки вiд реалiзацiї продукцiї меншi, нiж витрати на її виробництво.

Теорема 4 (друга теорема двоїстостi). Допустимi розв’язки X¤ i Y ¤ прямої та двоїстої задач є оптимальними планами вiдповiдних задач тодi й тiльки тодi, коли викону-

Умови 1) i 2) називають умовами доповнюючої нежорсткостi.

З цiєї теореми випливає властивiсть ортогональностi розв’язкiв пари взаємно двоїстих задач лiнiйного програмування: якщо j-та компонента оптимального вектора X¤ додатна, то j-те обмеження двоїстої задачi повинно виконуватись як рiвнiсть. Аналогiчно, якщо додатною є i-та компонента оптимального вектора Y ¤, то повинно виконуватись як рiвнiсть i-те обмеження прямої задачi.

270