Уравнение дуги окружности в комплексной форме записи

Рис.1.11 Графическое представление дуги окружности в векторной и комплексной форме

Совместим хорду АС с вещественной осью комплексной плоскости: . Обозначим АС через ,AD через , DC через, тогда. Здесь вектор опережает векторна уголψ.

Предположим, что модуль в-раз больше или меньше модуля, т.е..

Если:

где . В векторной форме уравнение дуги окружности имеет вид:, откуда

_{В комплексной форме уравнение дуги окружности} можно представить следующим образом

При изменении от 0 доизменяются оба вектора, но таким образом, что угол между ними остается неизменным, при этом сумматоже остается постоянной равной.

Таким образом: при =var, т.е. при этом конец вектора скользит по дуге окружности, которая опирается на хорду АС, равную. Поэтому можно сказать, что дуга окружности является геометрическим местом точек конца вектора.

Понятие о круговой диаграмме электрической цепи

Известно, что синусоидальные временные функции могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Если процесс в электрической цепи описывается уравнением тождественным уравнениям , то геометрическим местом концов вектора тока или напряжения является окружность.

Круговой диаграммой тока или напряжения называется дуга окружности, являющаяся геометрическим местом точек концов вектора тока или напряжения при измении по модулю какого-либо одного сопротивления электрической цепи и сохранении неизменными остальных сопротивлений, частоты, ЭДС источников энергии.

Круговая диаграмма для цепи из двух последовательно соединенных сопротивлений

Рис.1.12 Схема с последовательным соединением комплексных сопротивлений

Для схемы на рис.1.12 заданы комплексные сопротивления:

Известно, что .

Из выражения для аргумента и модуля сопротивления нагрузкиследует, что условиевозможно тогда, когдаубывают или увеличиваются одновременно и пропорционально.

Допустим, что , т.е. характер обоих сопротивлений активно– индуктивный.

В соответствии с законом Ома найдем ток в цепи:

, здесь , т.к. источник ЭДС идеален () и определим геометрическое место точек конца вектора тока при неизменном напряжениина зажимах источника ЭДС (Е). Если принять, чтоявляется внутренним сопротивлением источника ЭДС, то в режиме короткого замыкания нагрузки, получимтогда выражение для тока в цепи можно переписать следующим образом:

где , т.к.. Полученное выражение тождественно уравнению. Здесь роль вектора (хорды)играет комплекс тока короткого замыкания.

Роль коэффициента k выполняет отношение сопротивлений Роль вектора (хорды)– вектор (комплекс) играет комплекс текущего значения тока в цепи

При изменении модуля сопротивления нагрузки вектор текущего значения токабудет скользить по дуге окружности, у которой ток короткого замыканияявляется хордой.

Порядок построения круговой векторной диаграммы (квд) токов

1. Задаем на плоскости положение осей вещественных и мнимых чисел.

2. Выбираем масштаб напряжений для напряжения источникаи откладываем векторпо оси вещественных чисел.- для идеального источника.

3. Вычисляем ток короткого замыкания: .

Откуда следует, что ток отстает от ЭДС и напряжения источника на угол «».

4) Выбираем масштаб для тока и откладываем векторпод углом «» к вектору ЭДС. Отрезокявляется хордой круговой диаграммы.

5) Выбираем масштаб сопротивлений и вдоль хорды ОК откладываем отрезок.

6) Из точки А под углом к вектору тока короткого замыканияпроводим линию изменяющегося параметра AN.

Примечание: в нашем случае принято, что , тогда. Но так как угол берется со знаком минус () , то получается положительный угол поворота линии переменного параметра AN. А положительный угол в плоскости откладывается против часовой стрелки.

7. Из начала координат отпускаем перпендикуляр OD на линию переменного параметра AN.

8. В середине хорды восстанавливаем второй перпендикуляр до пересечения его с перпендикуляром OD. Точка пересечения двух перпендикуляров дает центр круговой диаграммы – «C».

9. Проводим дугу круговой диаграммы радиусом ОС.

10. На линии переменного параметра AN откладываем отрезок в масштабе сопротивления и соединяем точкус точкой «О» начала координат.

11. Отрезок – текущему значению тока в цепи. При измененииот 0 доточка М (а следовательно конец вектора тока I) перемещается по дуге окружности от точки К к точке «О».

При , ток в электрической цепи пропорционален модулю полной проводимой цепи.

Поэтому отрезок ОМ может служить мерой проводимости цепи в масштабе проводимости. Масштаб проводимости можно найти по режиму короткого замыкания, при котором проводимость всей цепи измеряется отрезком ОК: .

В этом же масштабе можно определить активную «» и реактивную «» проводимости цепи как проекцию отрезка ОМ на ось совпадающую с вектором напряженияи ось мнимых чисел..

Если , т.е.совпадает с осью вещественных чисел, то комплексыимеют одинаковые аргументы и круговая диаграмма тока, в масштабе проводимостибудет являться КВД комплексной проводимости электрической цепи.

Используя КВД можно получить различные величины, характеризующие режим работы электрической цепи.

Рис.1.13 КВД тока для схемы с последовательным соединением комплексных сопротивлений

Из КВД (рис.1.13) имеем:

т.к

Длины отрезков ОК, ОМ и МК пропорциональны напряжениям . Напряженияможно определять соответственно по отрезкам ОМ и МК, пользуясь масштабом напряжения

Направления векторов будут отличаться от направлений векторов ОМ и МК на угол(на КВД они не показаны).

Длина перпендикуляра MF определит активную мощность на входе цепи

.

Отрезок OF на оси мнимых чисел прямой ОР пропорционален реактивной мощности на входе цепи

Полную мощность , активную мощностьи реактивную мощностьнагрузки можно определить из треугольника ОМК с помощью перпендикуляра МН опущенного из точки М на хорду ОК.

Опустим из точки К перпендикуляр на линию и найдем площадь треугольника ОМК