Приклади

1. .

2. .

Комплексне число називається спряженим до комплексного числа z=a+ bi.

Числом, спряженим з , будеz. Кожне дійсне число а є спряженим з самим собою.

Розглянемо деякі властивості спряжених комплексних чисел.

1. Сума і добуток спряжених комплексних чисел є числа дійсні. Справді,

,

.

2. Число, спряжене з сумою двох чисел, дорівнює су мі чисел, спряжених з доданками:

Справді, якщо z₁=a₁+ b₁i і z₂=a₂ + b₂i, то =(a₁ –b₁i) + (a₂–b₂i)=(a₁+a₂) – (b₁+b₂)і =. Аналогічно доводять також твердження:

3. Число, спряжене з добутком двох чисел, дорівнює добутку чисел, спряжених з співмножниками:

.

4. Число, спряжене з різницею чисел z₁ i z₂,дорівнює різниці чисел, спряжених із зменшуваним z₁ і від’ємником z₂:

.

5. Число, спряжене з часткою чисел z₁ i z₂, дорівнює частці чисел, спряжених з діленим z₁ і дільником z₂:

.

2. Тригонометрична форма комплексного числа. Геометрична інтерпретація операцій над комплексними числами

Візьмемо на площині декартову прямокутну систему координатхОу. Комплексне число z=a+ bi можна зобразити точкою (a,b) площини, абсциса якої дорівнює а, а ордината – b.

Цим між множиною всіх комплексних чисел і сукупністю всіх точок площини встановлюємо взаємно однозначну відповідність. Комплексне число 0 зображується точкою 0 площини, яку взято за початок координат.

Дійсні числа зображують точками осі абсцис Ох, цю вісь називають дійсною віссю. Суто уявні числа bi зображають точками осі ординат Оу. Тому цю вісь називають уявною віссю.

Кожному комплексному числу z=a+ bi можна поставити у відповідність вектор, початком якого є початок координат О, а кінцем – точка А з координатами (a,b). Довжина цього вектора називається модулем комплексного числа z:

,

а кут між вектором і додатнім напрямком дійсної осі називається аргументом комплексного числа z і позначається Arg z. Кут додатній, якщо поворот здійснюється проти годинникової стрілки, і від’ємний, якщо обертання відбувається за годинниковою стрілкою. Для всіх комплексних чисел має місце нерівності:

, .

Аргумент числа 0 не визначений. Модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент визначається з точністю до сталого доданку виду ,

Серед нескінченої множини значень Argz є одне значення, яке належить проміжку . Це значення аргументу називаютьголовним значенням і позначають . Таким чином,

, ,

Аргумент комплексного числа можна знайти з рівностей

, ,

або за формулами, якщо і

1) >0, 0, то ;

2) < 0, 0, то ;

3) < 0, < 0, то ;

4) 0, < 0, то ;

5) 0, , то ;

6) < 0, , то ;

7) , 0, то ;

8) , < 0, то .