2. Алгебраїчні структури. Означення і приклади груп, кілець, полів

На множині М може бути задано багато різних алгебраїчних операцій. Якщо бажають виділити одну з них, наприклад , то записують (М,) і вважають, що операціявизначає на множиніМ алгебраїчну структуру або що (М,) є алгебраїчною структурою.

Множина М, на якій задано одну або кілька алгебраїчних операцій, називається алгебраїчною структурою.

В математиці виділилося невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, які докладно вивчаються: група, кільце, поле, лінійний простір. Вивчення цих структур і зв’язків між ними є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

Нехай G – деяка не порожня множина, на якій задано бінарну операцію.

Означення.

Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою, якщо виконуються такі умови:

1. Операція асоціативна;

2. в G існує нейтральний елемент ;

3. для кожного елементу єG в множині G існує симетричний елемент

Умови 1-3 називають аксіоми групи. Якщо бінарна операція комутативна, то група G називається комутативною, або абельовою, за ім’ям норвезького математика Н. Абеля, який вивчав рівняння, теорія яких тісно пов’язана з теорією комутативних груп.

Група G називається скінченною, якщо множина її елементів скінчена, і нескінченною, якщо множина її елементів нескінченна.

Приклади 1. Множина всіх цілих чисел Z є Абельовою групою відносно додавання. У цій множині визначення операція додавання. Операція додавання цілих чисел асоціативна і комутативна. У множині Z є нейтральний елемент відносно операції додавання – число 0. Для кожного елемента n Z в множині Z є симетричний елемент – n. Цю групу називають адитивною (від лат. addition – додавати) групою цілих чисел.

2. Множина всіх раціональних чисел Q,множина всіх дійсних чисел R – абельові групи за додаванням. Доведіть це самостійно.

Ці групи називають відповідно адитивною групою раціональних, дійсних чисел.

3. Множина всіх парних чисел є абельовою групою за додаванням. Її називають адитивною групою парних чисел.

4. Множина М_n (R) всіх матриць порядку n, елементами яких є дійсні числа, є абельовою групою відносно додавання. Справді, операція додавання матриць асоціативна і комутативна. Матриця О_n є нульовим елементом. Для кожної матриці А=(а_ik) в множині М_n(R) є протилежна матриця – А=(а_ik).

5. Множина, що складається з одного числа 0, є абельовою групою за додаванням.

6. Множина всіх додатніх раціональних чисел є абельовою групою за множенням.

Справді, на цій множині визначена операція множення: добуток двох додатних раціональних чисел є додатне раціональне число. Ця операція асоціативна і комутативна. У множині є одиничний елемент – число 1 і для будь-якого елемента цієї множини в ній є обернений елемент .

7. Множина всіх відмінних від нуля раціональних чисел є абельовою групою за множенням. Вона називається мультиплікативною (від лат. multipliko – множити) групою раціональних чисел.

8. Множина всіх додатних дійсних чисел і множинивсіх відмінних від нуля дійсних чисел – також абельові групи за множенням.

Групу називаютьмультиплікатнвною групою дійсних чисел.

Зауважимо, що множина непарних чисел не є групою відносно додавання, оскільки в ній невизначена операція додавання: додавання непарних чисел виводить за межі цієї множини. Не є групою відносно додавання і множення всіх додатних цілих чисел, оскільки в ній немає нульового елемента.

Множина всіх цілих чисел не є групою за множенням, оскільки для будь-якого відмінного від ± 1 цілого числа n в цій множині не міститься обернене число . Множина всіх раціональних чисел не є групою за множенням, оскільки для числа 0 оберненого числа не існує.

Означення.

Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи (записують H<G), якщо H є групою відносно бінарної операції, визначеної на групі G.

Так, адитивна група парних чисел є підгрупою адитивної групи цілих чисел Z. Група Z, в свою чергу, є підгрупою адитивної групи раціональних чисел Q. Група за множення додатних раціональних чисел Q₊ є підгрупою мультиплікативної групи Q всіх відмінних від нуля раціональних чисел.

Другою досить важливою алгебраїчної структурою поряд з групою є кільце.

Нехай на непорожній множині K визначені дві бінарні операції – додавання і множення.

Означення.

Непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1. Множина K є абельовою групою за додаванням.

2. Операція множення асоціативна, тобто

.

3. Операція множення дистрибутивна відносно операції додавання, тобто

,

Умови 1-3 називаються аксіомами кільця. Якщо операція множення на кільці K комутативна, то кільце називають комутативним. Кільце називається скінченним, якщо множина його елементів скінченна, воно називається нескінченним, якщо множина його елементів нескінченна.