Посібник повністю відповідає програмі першого семестру з курсу лінійної алгебри. В ньому розглядаються основні числові системи, комплексні числа, та визначники, системи лінійних рівнянь.

Автор вважав доцільним написати посібник, який був би корисним не лише студентам денної форми навчання, а й студентам-заочникам. Тому означення, теореми формулюється розгорнуто, доведення докладні. Пропонуються детально розв’язані та проаналізовані приклади, які допоможуть кращомуусвідомленню і засвоєнню теоретичного матеріалу.

ЗМІСТ

§ 1. Основні числові системи

1. Бінарні алгебраїчні операції

Асоціативність, комутативність та дистрибутивність бінарних операцій

Нейтральний елемент. Симетричні елементи.

2. Алгебраїчні структури. Означення і приклади груп, кілець, полів.

3. Натуральні числа. Метод математичної індукції.

4. Біном Ньютона.

5. Цілі, раціональні та дійсні числа.

§ 2. Поле комплексних чисел

1. Побудова поля комплексних чисел. Алгебраїчна форма комплексного

числа.

2. Тригонометрична форма комплексного числа.

Геометрична інтерпретація операцій над комплексними числами.

3. Піднесення комплексного числа до цілого степеня.

4. Добування кореня з комплексного числа.

5. Корені з одиниці та двочленні рівняння.

§ 3. Арифметичний n-вимірний векторний простір

1. Поняття про арифметичний n-вимірний векторний простір.

2. Лінійна залежність і незалежність векторів.

3. Базис і ранг в системі векторів.

4. Еквівалентні перетворення системи векторів.

§ 4. Матриці

1. Початкові відомості про матриці.

2. Операції на матрицями та їхні властивості.

3. Обернена матриця. Обчислення оберненої матриці елементарними

перетвореннями.

§ 5. Системи лінійних рівнянь

1. Загальні відомості про системи лінійних рівнянь.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

3. Різні форми запису системи лінійних рівнянь.

4. Ранг матриці.

5. Критерій сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь.

6. Фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи

рівнянь.

7. Зв'язок між розв’язками неоднорідної й зведеної однорідної

системи лінійних рівнянь.

8. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.

§ 6. Визначники

1. Визначники другого і третього порядку. Правило Крамера.

2. Перестановки,підстановки та інверсії.

3. Визначники n-го порядку та їхні властивості.

4. Обчислення визначник

§ 7. Застосування визначників.

1.Визначник добутку матриць.

2. Означення рангу матриці через мінори. Умова виродженості

квадратної матриці. Теорема про ранг матриці.

3. Існування оберненої матриці. Обчислення її за допомогою

алгебраїчних доповнень.

4. Правило Крамера для системи n лінійних рівнянь з n невідомими.

§ 1. Основні числові системи

1. Бінарні алгебраїчні операції

З прикладами алгебраїчних операцій читачеві доводилося зустрічати ще в шкільному курсі математики. Додавання і множення чисел, многочленів, додавання векторів площини, додавання і множення матриць, додавання і множення функцій, композиція відображень – все це приклади алгебраїчних операцій. Ці операції виконуються над парами елементів тієї самої множини, тому їх називають бінарними алгебраїчними операціями.

Далі для скорочення бінарну алгебраїчну операцію називаємо бінарною операцією.

Нехай M – довільно множина елементів a,b,c,…

Означення.

Під бінарною операцією на множині М розуміють закон, за яким будь-яким двом елементам а і b цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність єдиний елемент цієї множини.

З погляду цього означення, додавання цілих чисел, множення раціональних чисел, додавання векторів, розміщених у деякій площині, – це бінарні операції.

Знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного двох натуральних чисел – бінарні операції на множині натуральних чисел. Скалярний добуток двох векторів площини не є бінарною операцією на множині М всіх векторів цієї площини, оскільки скалярний добуток двох векторів є число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини М. Так само операція знаходження спільного дільника натуральних чисел m і n не є бінарною операцією на множині натуральних чисел, бо хоч вона здійснена завжди, але не є однозначною: числа m і n можуть мати кілька спільних дільників.

Кожну операцію над елементами конкретної множини позначають спеціальним знаком: додавання «+»,множення «»,перетин множин «» і т.д. Для позначення довільних бінарних операцій користуватимемося символами « і». Елемент, який бінарна операція (операція) ставить у відповідність парі елементівa і b,позначатимемо символом ab(ab)і називатимемо композицією елементів a і b.

Якщо композиція a b (аb) дорівнює елементу С,то записуємо а6=с (аb)і читаємо: «a в композиції з b дає с»або «композиція елементів а і b дорівнює с».

Нехай на множині М визначена бінарна операція .

Означення.

Бінарна операція називається асоціативною,якщо для будь-яких елементів а,b, і с множини М справджується рівність

Операції додавання і множення, наприклад, цілих чисел асоціативні. Асоціативні також операції об’єднання і перетину підмножини множини А. Операція ж віднімання цілих чисел не асоціативна, бо

Означення.

Бінарна операція називається комутативною, якщо для будь-яких елементів а і b множини М спав жується рівність

Операції об’єднання і перетину підмножини множини А комутативні. Комутативними є також операції додавання й множення цілих чисел. Операція ж віднімання цілих чисел не комутативна, оскільки 10–3≠3–10. Припустимо, що на множині М визначено бінарні операції і .

Означення.

Бінарна операція називається дистрибутивною відносно операції, якщо для будь-яких елементівa, b і c множини М справджується рівність

і .

Так, операція множення цілих чисел дистрибутивна відносно операції додавання їх, але операція додавання не дистрибутивна відносно множення

, .

Результат послідовного виконання операції на елементами системи а₁,а₂,…,а_n називають композицією цих елементів і позначають а₁а₂…а_n. Якщо бінарна операція на множиніМ асоціативна й комутативна, то композиція елементів а₁,а₂,…,а_n множини М не залежить від того, в якому порядку записані її члени.

Елемент М називається нейтральним елементом відносно операції , якщо для будь-якого елемента а з множини М справджуються рівності.

.

Так, у множині всіх підмножин деякої множини М порожня підмножина ø є нейтральним елементом щодо операції об’єднання , аМ – щодо операції перетину .

Число 0 є нейтральним елементом стосовно додавання цілих чисел, а число 1– щодо їх множення.

Теорема 1.

Якщо в множині М з бінарною операцією є нейтральний елемент, то тільки один.

• Справді, якщо і– нейтральні елементи, то.•

Елемент М називають симетричним елементу М, якщо .

Нейтральний елемент симетричний сам собі. Якщо– відмінне від нуля раціональне число, то число –симетричне йому відносно додавання, а число – відносно множення.

Теорема 2.

Якщо бінарна операція на множені М асоціативна, то для будь-якого елемента а множини М в ній може існувати не більше ніж один симетричний елемент.

• Справді, якщо і– елемент симетричні елементу, то, тобто.•