Приклади

1. Поле Q раціональних чисел є підполем поле дійсних чисел вигляду , де a і b будь-які раціональні числа, і поля R дійсних чисел.

2. Поле дійсних чисел вигляду є підполем поля R дійсних чисел.

3. Натуральні числа. Метод математичної індукції. Натуральні числа відомі людям з давніх давен. Виникли потреби рахувати та упорядковувати деякі предмети. Множина натуральних чисел N = є нескінченна множина.

Існують теоретико-множинна, або кількісна теорія натуральних чисел, і порядкова, або аксіоматична теорія. При аксіоматичній побудові теорії натуральних чисел виводиться одне відношення строго порядку «йде слідом» і чотири аксіоми Пеано (італійський математик запропонував аксіоми у 1891 р.):

1) Існує натуральне число 1, яке не слідує ні за яким натуральним числом.

2) Для будь-якого натурального числа існує одне і тільки одне натуральне число, яке за ним слідує.

3) Будь-яке натуральне число слідує не більше ніж за одним натуральним числом.

4) (Аксіома індукції). Якщо множинна М натуральних чисел має такі властивості:

а) 1 М ;

б) якщо а М і а+1 М, то вона містить усі натуральні числа, тобто M=N.

На множині N натуральних чисел визначенні операції додавання, множення, визначено відношення порівняння чисел за величиною, існує одиничний елемент, такий що 1·a = a. Для того, щоб існувала різниця a–b, a, b N, необхідно і достатньо щоб >. В множині натуральних чисел не завжди існує дія ділення. Частка існує тоді і тільки тоді, коли а ділиться на b . .

Кожне натуральне число n ділиться само на себе і на 1.Для всякого натурального числа n існують натуральні числа більше за нього, наприклад n+1. Якщо n ≠ 1, то існують також числа, менше n, наприклад n–1.

Твердження поділяються на загальні і частинні.

Наприклад, у будь-якому паралелограми діагоналі в точці перетину діляться пополам – загальне твердження.

В паралелограмі АВСD діагоналі в точці перетину діляться попалам – частинне твердження.

Перехід від загального твердження до частинного називається дедукцією.

Перехід від часткового твердження до загального називається індукцією. Індукція може привести як до правильного, так і неправильного висновку. Пояснимо на прикладах.

120 ділиться на 5 (1)

Всі числа які закінчуються нулем, діляться на 5. (2)

Із частинного твердження (1) дістали загальне твердження (2). Твердження (2) правильне.

Всі тризначні числа діляться на 5. (3)

Із частинного твердження (1) дістали загальне твердження (3). Твердження (3) хибне.

Твердження може бути істинним в декількох частинних випадках. Всі частинні випадки розглянути неможливо. Як же взнати, чи істинне твердження взагалі? Це питання інколи вдається розв’язати при допомозі методу доведення, який називається методом математичної індукції. В основі цього методу лежить принцип математичної індукції, який є одним із основних положень сучасної математики. При доведенні математичних тверджень застосовують різні форми принципу математичної індукції.

Теорема 4. (Принцип математичної індукції. Основна форма).

Якщо твердження Т справедливе для числа n = 1 і якщо із припущення, що воно справедливе для натурального числа n = k, випливає його справедливість і для числа n = k+1, то твердження Т справедливе для будь-якого натурального числа n.

• Справді, нехай М – множина всіх тих натуральних чисел, для яких твердження Т справедливе. За умовою теореми, 1 М. Нехай твердження істинне при n = k, то k M. Якщо твердження істинне і при n = k+1, то k+1 M. За аксіомою індукції множина М збігається з множиною N.•

Отже, твердження Т справедливе для будь-якого натурального числа n.

Таким чином, щоб довести методом математичної індукції справедливість деякого твердження для будь-якого натурального числа n, треба:

1) довести, що твердження справедливе для n = 1;

2) припустити, що воно справедливе для n = k;

3) довести його справедливість для n = k+1.

Теорема 5. (Друга форма принципу математичної індукції).

Якщо твердження Т справедливе для всіх натуральних чисел n<k, випливає справедливість його і для числа n=k,то твердження Т справедливе для будь-якого натурального числа.

Ця теорема є частинним випадком наступного твердження.

Теорема 6. (Узагальнення другої форми принципу математичної індукції).

Якщо твердження Т справедливе для натурального числа n=n₀ і якщо із припущення, що воно справедливе для всіх натуральних чисел n=L, які задовольняють умові n₀ L< k, випливає справедливість його і для числа n=k, то твердження Т справедливе для будь-якого натурального числа n n₀.