Приклади.
1. Обчислити (a+b)5.
• (a+b)5=
. •
2. В розкладі бінома Ньютона (a+b)n коефіцієнт третього члена дорівнює 28. Знайти середній член розкладу.
• ,
тобто
n=8.
В розкладі міститься 9 членів. Середнім буде п’ятий член.
.
Отже, Т5 =70 . •
3. Знайти n, якщо відомо, що в розкладі (1+х)n коефіцієнти при х5 і х12 рівні.
• За умовою . Використовуючи формулу , дістанемо, m=5, n–-m=12. Отже, n=17. •
4. При якому значенні х коефіцієнт четвертого члена розкладу бінома дорівнює показнику бінома?
• Розглянемо рівняння
x –2 ,
яке запишемо у вигляді
,
.
Враховуючи
ОДЗ;
,
отримаємо відповідь .
5. Цілі, раціональні та дійсні числа
На множині натуральних чисел основними операціями є додавання і множення, які задовольняють властивостям комутативності, асоціативності і дистрибутивності множення відносно додавання. Операція віднімання на N визначена на завжди. Розглянемо рівняння.
a+x=b, a,b N, x=b–a.
При b>a це рівняння має розв’язок на множенні натуральних чисел. Якщо b=a, то x=0 – рівняння не має розв’язку на множині N.
Побудуємо розширення множини N введенням від’ємних чисел
M=
і елемента 0.
Множиною цілих чисел називається множина
Z=N
M
,Z=.
В множині Z рівняння a+x=b має розв’язок для довільних a,b із Z.
Z – комутативне кільце відносно операцій додавання і множення.
Побудуємо розширене кільце Z до поля раціональних чисел Q, щоб в ньому завжди розв’язувалось рівняння ax=b для довільних a,b Q і a 0.
Раціональні числа – це всі цілі і дробові додатні числа, нуль і всі цілі і дробові від’ємні числа виду , де b – будь-яке ціле число, а – натуральне число.
.
В полі раціональних чисел Q визначені операції додавання, віднімання, множення і ділення.
Всяке раціональне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу, або нескінченного періодичного десяткового дробу.
Наприклад: .
Не кожне квадратне рівняння має розв’язок в полі Q . Таким, наприклад, є рівняння х2–3=0. В полі Q не можна добути корінь будь-якого натурального степеня з довільного додатного раціонального числа.
Розширенням поля Q є поле R дійсних чисел.
Всі раціональні та ірраціональні числа разом називаються дійсними числами.
Ірраціональні – це числа, які можна представити у вигляді нескінченого періодичного десяткового дробу.
Наприклад: 0,31311311… – ірраціональне число, також е=2,71828…, π=3,14159 – ірраціональні. Всі ці числа належать множині R.
Кожній точці числової осі відповідає одне єдине дійсне число раціональне чи ірраціональне. Навпаки, кожному дійсному числу відповідає одна єдина точка числової осі. Це значить, між множиною дійсних чисел і множиною всіх точок числової осі існує взаємно однозначна відповідність.
Вправи для самостійного розв’язування
1.Чи є бінарною алгебраїчною операцією:
а) множення раціональних чисел?
б) множення ірраціональних чисел?
в) віднімання натуральних чисел?
2. Чи є множення матриць бінарною операцією на множені трикутних матриць вигляду
, де ?
3. Чи утворює групу відносно додавання (множення)множина цілих (раціональних)чисел?
4. Чи утворює кільце (поле) відносно операцій додавання і множення матриць множина М матриць вигляду
, де a,b R?
5. Довести, що при будь-якому натуральному n:
1) 13+23+33+…+n3=;
2) ;
3)
4)
5) при n>1;
6) при n>1.
6. Розв’язати рівняння
1) ;
2);
3) .
7. Знайти член розкладу бінома , що містить .