Приклади

1. Множини цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених на ній операцій додавання і множення. Справді, множина Z є абельовою групою за додаванням, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

2. Множина парних чисел є комутативним кільцем відносно операції додавання і множення чисел. Справді, ця множина є абельовою групою за додаванням, на ній визначено операцію множення: добуток парних чисел є парним числом, причому операція множення є асоціативна, комутативна, дистрибутивна відносно операції додавання.

3. Множина раціональних чисел Q є комутативним кільцем відносно визначених на ній операцій додавання і множення. Довести це самостійно.

4. Множина R всіх дійсних чисел також є кільцем відносно визначених на ній операцій додавання і множення.

5. Множина, що складається з одного числа 0, є кільцем. Це кільце називають нульовим і позначають символом 0.

Зауважимо, що множина натуральних чисел, множина цілих непарних чисел, а також множина додатних раціональних чисел не є кільцями відносно операцій додавання й множення, оскільки кожна з них не є групою за додаванням.

Кільце, елементами якого є числа, називають числовим кільцем.

Означення.

Підмножина K₁ кільця K називається підкільцем кільця K,якщо K₁ є кільцем відносно операції додавання і множення, визначених на кільці K.

У кожному кільці K є такі підкільця : саме кільце K і нульове підкільце, яке складається лише з 0. Ці підкальця називають тривіальними. Всі інші підкільця називають істиними, або власними.

Щоб з’ясувати, чи є дана підмножина K₁ кільця K його підкільцем, зручно користуватися такою теоремою.

Теорема 3.

Для того щоб непорожня підмножина K₁ кільця K була його підкільцем, необхідно й достатньо, щоб різниця й добуток будь-яких двох елементів підмножини K₁ належали до K₁.

Приклади

1. Кільце парних чисел є підкільцем кільця Z цілих чисел.

2. Кільце Z цілих чисел є підкільцем кільця Q раціональних чисел і кільця R дійсних чисел.

3. Кільце Q раціональних чисел є підкільцем кільця R дійсних чисел.

4. Множина K всіх чисел вигляду , деі– деякі раціональні числа, є підкільцем кільця дійсних чиселR.

Нехай і – будь-які числа з множини K. Різниця і добуток цих чисел належать до множини K. Тому, за теоремою 3, K є підкільцем кільця R.

Означення.

Комутативне кільце P називається полем, якщо виконуються такі умови: 1) у кільці P міститься, принаймні, два елементи; 2) у кільці P є одиниця; 3) для кожного елемента аP, відмінного від нуля, в кільці є обернений елемент.

Інакше, поле P – це комутативне кільце з одиницею, в якому кожен елемент є дільником одиниці. Вимоги, що входять в означення поля, називаються аксіомами поля.

Приклади

1. Кільце Q раціональних чисел є полем.

2. Кільце дійсних чисел R є полем.

3. Кільце дійсних чисел вигляду , де a і b – будь-які раціональні числа, є полем.

Справді, 1=1+0· міститься в K. Крім того, для кожного відмінного від нуля числа з кільця K обернене число міститься в K. Оскільки число відмінне від нуля, то, принаймні, одне з чисел a і b відмінне від нуля, а тому відмінне від нуля і число . Тоді раціональне число також відмінне від нуля і

.

Оскільки і – раціональні числа, то міститься в K. Отже, розглядуване кільце K є поле.

Означення.

Підмножину P΄поля P називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі P. Поле P називають розширенням поля P΄.