Приклад
Довести, що число Sn=11n+2+122n+1 ділиться на 133 при будь-якому натуральному n.
1) При n=1. S1=113+123=(11+12)(112–11·12+122)=23·133, тобто твердження справедливе.
2) Припустимо що при n=k число Sk=11k+2+122k+1 ділиться на 133. Отже, Sk=11k+2+122k+1=133q, q N.
3) Доведемо, що при n=k+1 число Sk+1=11k+3+122k+3 ділиться на 133. Дійсно,
Sk+1=11k+3+122k+3=11k+2·11+144·122k+1=11(11k+2+122k+1)+133·122k+1=11·133q+
133·122k+1=133(11q+122k+1)133.
Отже, силу принципу математичної індукції число Sn при будь-якому натуральному n.
4. Біном Ньютона
Нехай дано натуральні числа від 1 до n. Побудуємо з цих чисел різна групи (сполуки) з m чисел (1mn). При цьому будимо вважати різними сполуки ті, які відрізняються одна від одної хоча б одним елементом. Такі сполуки називають комбінаціями.
Знайдемо
число комбінацій з n
елементів по m.
Очевидно, що число одинарних комбінацій,
тобто комбінацій з n
елементів по одному,. Побудуємо тепер
подвійні комбінації. Це можна зробити
так. Візьмемо якусь одинарну комбінацію,
наприклад число 2, і приєднаємо до нього
всі інші числа 1, 3, 4, (n–1),
n.
Дістанемо
подвійних комбінацій. Перебираючи всі
одинарні комбінації і приєднуючи до
них по одному елементу, дістанемо всього
(n–1)
подвійних комбінацій. Враховуючи, що
кожна подвійна комбінація повторюється
двічі, дістанемо
.
Аналогічні міркування дають можливість обчислити число комбінацій з n елементів по три:
.
Доведемо методом математичної індукції, що взагалі
. (4)
Справді,
1) для m=1твердження справедливе: .
2) припустимо, що воно правильне для m=k+1, тобто
. (5)
3) Доведемо його справедливість для m=k +1.
Приєднуючи по черзі по одному елементу з тих n – k елементів, які не входять у кожну комбінацію (5), дістанемо всього комбінацій. Проте, серед них кожна повторюється k+1 раз. Тому
. (6)
Отже, формула (4) справедлива для будь-якого натурального числа m, де 1.
Символом n! (читається n-факторіал) позначають добуток всіх натуральних чисел від одного до n: n!=1·2·3·…·n.
Символ 0! означає 1, тобто 0!=1.
Наведемо ще такі три важливі формули:
a) (7)
Цю формулу при mn дістанемо з доведеної множення чисельника і знаменника на (n–m)!. Її можна узагальнити і на випадок m=n поклавши 0!=1.
.
б) . (8)
Справедливість твердження встановлюється перевіркою з урахуванням властивості а).Узагальнюючи цю формулу на випадок m=n, покладають оскільки .
.
в) . (9)
Справді,
.
Відомо, що
, .
Як піднести до степеня вирази (a+b)n, (a–b)n? Відповідь на це питання дає наступна теорема.
Теорема.
Для довільного натурального n і довільних дійсних чисел a і b має місце формула
, (10)
– деякі натуральні числа.
Доведемо теорему методом математичної індукції.
1) При n=1 твердження правильне, оскільки (a+b)1=1·a+1·b, .
2) Нехай формула (10) справедлива при n=k,тобто
.
3) Доведемо, що вони правильна для n=k+1
(11)
Справді,
(12)
В силу формул (8) і (9) маємо
, ,
.
Тому (12) = (11). Справедливість формули (10) доведено для всіх натуральних n .
Формула (10) називається формулою бінома Ньютона. Права частина формули називається розкладом бінома Ньютона.
Формула (10) до Ньютона була відома Паскалем (1623-1662). Заслуга Ньютона в тому, що він узагальнив цю формулу для нецілого показника n.
Формулу (10) можна записати у вигляді
.
– біноміальні коефіцієнти, які можна обчислити за формулами (4), (7).
член
розкладу бінома Ньютона має вигляд
,
.
Властивості формули бінома Ньютона :
1) Розклад (10) містить n+1 членів.
2) Показники букви а спадають від n до 0, а показники букви b зростають від 0 до n і сума показників при a і b в кожному члені розкладу дорівнює n.
3) Коефіцієнти членів, рівновіддалених від початку і кінця розкладу бінома Ньютона, рівні між собою:
,
,
.
4) Сума всіх біноміальних коефіцієнтів розкладу (a+b)n дорівнює 2n.
Дійсно, поклавши a=b=1 в розкладі (10), дістанемо
(1+1)n =.
5) Сума біноміальних коефіцієнтів членів розкладу, що знаходяться на парних місцях, дорівнює сумі коефіцієнтів членів, що знаходяться на непарних місцях. Тобто,
.
6) Кожний наступний біноміальний коефіцієнт дорівнює добутку коефіцієнта попереднього члена, помноженого на показник букви а цього члена, поділеного на число попередніх членів:
.