§2 Поле комплексних чисел

1.Побудова поля комплексних чисел. Алгебраїчна форма комплексного числа

Дійсні числа відіграють важливу роль у математиці. Проте є задачі, які неможливо розв’язати в полі дійсних чисел. Найпростішою з таких задач є задача розв’язування квадратного рівняння

х²+1=0. (1)

Це рівняння не розв’язується в полі дійсних чисел, оскільки не існує дійсного числа, квадрат якого дорівнював би – 1. Завдання полягає в тому, щоб розкрити поле R до такого поля, в якому рівняння (1) вже мало б розв’язки.

Розширення поля R будуватимемо з упорядкованих пар дійсних чисел. Пару об’єктів a і b називають упорядкованою, якщо відомо, який з цих об’єктів перший і який другий. Якщо в упорядкованій парі об’єктів a і b об’єкт а вважається першим, а об’єкт b – другим, то її позначають символом (a,b).

Розглянемо множину С всіх можливих упорядкованих пар (a,b)дійсних чисел a і b. Числа a і b називають компонентами пари. Упорядковані пари (a,b) і (c,d) вважають рівними (a,b)=(c,d) тоді і тільки тоді, коли а=с і b=d.

На множині С упорядкованих пар визначимо операції додавання й множення.

Сумою пар (a,b) і (c,d) називатимемо пару (a,b)(c,d)=(a+c,b+d).

Добутком пар (a,b) і (c,d) називатимемо пару (a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

Доведемо, що множина С упорядкованих пар з визначеними на ній операціями додавання й множення є полем.

Операція додавання упорядкованих пар асоціативна й комутативна. Це випливає з асоціативності й комутативності додавання дійсних чисел.

У множині упорядкованих пар С є пара (0,0),яка відіграє роль нульового елемента. Для кожної пари (a,b) в множині С є протилежна пара –(a,b) =(–a,–b). Отже, множина С є абельовою групою за додаванням.

Операція множення упорядкованих пар асоціативна, комутативна й дистрибутивна відносно операції додавання пар. Доведемо дистрибутивність операції множення відносно операції додавання.

Нехай (a,b), (c,d) і (k,l) – довільно вибрані упорядковані пари.

Тоді

.

З цих рівностей випливає, що

.

Асоціативність і комутативність операції множення пар доводять аналогічно. З викладеного випливає, що множина С є комутативним кільцем.

Упорядкована пара (1,0) є одиничним елементом цього кільця. Для будь-якого елемента (a,b)(0,0) в кільці С є обернений елемент (х,у), що задовольняє умову (a,b)(х,у)=(1,0). Знайдемо цей елемент. Маємо

(a,b)(x,y)=(1,0) (ax–by, ay+bx)=(1,0)

Розв’язавши систему лінійних рівнянь, знаходимо

, .

Оскільки (a,b)≠(0,0),то принаймні, одна із компонент a і b відміна від нуля й тому a²+b²≠0.

Таким чином, для відмінного від нуля елемента (a,b) кільця С оберненим буде елемент

цього кільця. Отже, множина С всіх упорядкованих пар з визначеними на ній операціями додавання і множенням є полем. Поле С є розширенням поля дійсних чисел.

В полі С є парні рівняння (1),тобто є такий елемент, квадрат якого дорівнює –1. Одним з коренів рівняння (1) є елемент (0,1) поля С. Справді,

(0,1)²=(0,1)(0,1)=–1

Елемент (0,–1) є другим коренем рівняння (1). Умовимося елемент (0,1) позначати символом і, тоді елемент(0,–1)=–(0,1) – позначатиметься символом –і. Таким чином, і²=(–і)²= –1, і =. Позначення і ввів у 1777 р. Леонард Ейлер; це перша буква латинського слова imaginarius (уявний).

Для будь-якого невід’ємного цілого к виконуються рівності:

і^4к =1, і^4к+1 =1, і^4к+2 = –1, і^4к+3 = – і.

Кожен елемент (a,b) поля С можна записати у вигляді а+bi. Справді, оскільки (b,0)=b і (0,1)=і, то (0,b)=(b,0)(0,1)=bi, і тому

(a,b) = (a,0) + (0,b) = a+bi.

Означення.

Всяке розташування поля дійсних чисел R, утворене приєднанням до поля R кореня рівняння х² + 1 = 0, називають полем комплексних чисел.

Елементи такого розширення називають комплексними числами.

Комплексні числа позначатимемо символом z. Як уже відомо, кожен елемент поля С, тобто кожне комплексне число z, можна записати, причому єдиним способом, у вигляді

z = a+ bi,

де a і b дійсні числа, а і – корені рівняння х² + 1 = 0.

Цей запис називають алгебраїчною формою комплексного числа. Комплексне число і називатимемо уявною одиницею, а числа виду bi – суто уявними числами. Число а називають дійсною частиною, число bi – уявною частиною, а число b – коефіцієнтом уявної частини числа z:

.

Нехай z₁=a₁+ b₁i, z₂=а₂ + b₂i – два комплексних числа.

z₁=z₂ a₁=a₂, b₁=b₂

Зокрема, z=a+bi=0 a=0, b=0.

Додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за формулами:

z₁+ z₂=(a₁+ b₁i)+ (a₂+ b₂i)=(a₁+ a₂)+(b₁+ b₂)i,

z_1– z₂=(a₁+ b₁i)– (a₂+ b₂i)= (a₁ – a₂)+ (b₁ – b₂)i,

z₁·z₂=(a₁+ b₁i)(a₂+ b₂i)=(a₁a₂ – b₁b₂)+(a₁b₂+ b₁a₂)i,

, z₂0.

При додаванні комплексних чисел додаються окремо їх дійсні частини і окремо коефіцієнти уявних частин; при відніманні комплексних чисел віднімаються окремо їх дійсні частини і окремо коефіцієнти уявних частин. Комплексні числа перемножаються за правилом множення суми на суму і з прийняттям до уваги, що і² = –1. При діленні чисельник і знаменник помножають на число a₂ – b₂ i спряжена із знаменником.