статистика / Lektsii_po_programme_Obschaya_teoria_statistiki_Chur
.pdf
Пример
Имеются следующие данные по группе банков:
Сумма выданных кредитов, млн. ден.ед. |
Количество банков |
До 40 |
8 |
40–60 |
15 |
60–80 |
21 |
80–100 |
12 |
100–120 |
9 |
120–140 |
7 |
140 и выше |
4 |
|
|
Определим модальный размер выданных кредитов:
Мо = xMo |
+d |
fMo − fMo−1 |
|
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
( fMo − fMo−1 ) +( fMo − fMo+1 ) |
|
||
|
|
21−15 |
млн.ден.ед. |
||
= 60 +20 |
|
= 68 |
|||
(21−15) +(21−12) |
|||||
Структурные средние
Медианой (Ме) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50 % единиц совокупности имеют значение меньше медианного, 50 %
– больше медианного.
Квартили делят вариационный ряд на четыре равные части: первый квартиль (Q1) показывает значение признака, которого не превышают значения 25 % единиц совокупности, второй квартиль (Q2) – 50 % (он совпадает с медианой), третий (Q3) – 75 %
|
25 % |
50 % |
75 % |
|
• |
• |
• |
• |
• |
|
Q1 |
Me, |
Q3 |
|
|
|
Q2 |
|
|
Децили (D)делят упорядоченную по возрастанию значений признака совокупность на десять равных частей: первый дециль показывает значение признака, которого не превышают значения 10 % единиц совокупности, второй – 20 %, третий – 30 % и т.д. При этом пятый дециль совпадает с медианой и вторым квартилем.
10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 %
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
|
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
D5 |
D6 |
D7 |
D8 |
D9 |
|
|
|
|
|
|
Me, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
Определение структурных средних в дискретных вариационных рядах
Для определения медианы сначала находят ее
порядковый номер по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,где п – объем совокупности, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NMe = |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = ∑ fi |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Номера квартилей: |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NQ = |
1 |
|
(п+1) |
|
NQ |
= |
3 (п+1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Номера децилей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ND = |
1 |
|
(п+1) |
|
|
|
ND3 |
= |
3 |
|
(п+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ND = |
9 |
(п+1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
N = |
2 |
|
(п+1) |
|
|
|
N |
D |
(п+1) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
9 |
10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Медианой (квартилем, децилем) является значение признака, у которого накопленная частота начинает
впервые превышать номер медианы (квартиля, дециля).
Время работы, |
Число сотрудников, чел. |
Накопленная частота |
лет |
fi |
Si |
хi |
|
|
1 |
5 |
5 |
2 |
7 |
12 |
3 |
4 |
16 |
4 |
9 |
25 |
5 |
13 |
38 |
6 |
10 |
48 |
7 |
16 |
64 |
8 |
13 |
77 |
Итого |
77 |
– |
|
|
|
|
N: |
Me = |
n +1 |
= |
|
77 +1 |
= 39 |
|
|
|||||||
номер медианы равен |
|
|
Ме = 6. |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n +1 |
|
77 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
NQ1 |
= |
= |
=19,5 |
|
Q1 = 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
ND |
= |
(77 +1) = 62,4 |
|
D8 = 7 |
|||
10 |
|||||||
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение структурных средних в интервальных вариационных рядах
|
|
∑ fi |
|||
|
|
|
|
− SMe−1 |
|
Ме = хМе + dMe |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
fMe |
|||
|
|
|
|||
хМе – нижняя граница медианного интервала,
dMe – величина медианного интервала,
SMe-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
fMe – частота медианного интервала.
Сумма выданных |
Количество |
Накопленная |
кредитов, млн. ден.ед. |
банков |
частота |
|
fi |
Si |
20–40 |
8 |
8 |
40–60 |
15 |
23 |
60–80 |
21 |
44 |
80–100 |
12 |
56 |
100–120 |
9 |
65 |
120–140 |
7 |
72 |
140–160 |
4 |
76 |
Итого |
76 |
- |
|
|
|
NMe = |
n +1 |
= |
77 |
=38,5 |
Медианный интервал 60-80 |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
||
|
∑ fi |
− S |
76 |
−23 |
|
||
Ме = хМе + dMe |
2 |
|
Me−1 |
= 60 + 20 |
2 |
|
= 74,286 |
|
fMe |
|
|
21 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Квартили.
первый (нижний) |
|
|
|
∑ fi |
|
− SQ |
−1 |
|
|
|
|
4 |
|
||||
квартиль: |
Q1 = хQ |
+ dQ |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
fQ |
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третий (верхний) |
|
|
|
3∑ fi |
− SQ3 −1 |
|
Q3 = хQ3 |
+ dQ3 |
|
4 |
|||
квартиль: |
|
|
|
|||
|
fQ |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
Номер первого квартиля: |
NQ |
= |
1 n = |
1 |
(76 +1) =19,25 |
|
||||||||
|
1 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первый квартиль равен |
|
Q |
|
|
76 |
−8 |
= 54,7 |
|
|
|||||
|
= 40 + 20 |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Номер третьего квартиля: |
|
NQ |
= |
3 n = |
3 |
76 = 57 |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
76 −56 |
|
|
|
|||
Значение третьего квартиля: |
|
Q =100 + 20 |
4 |
|
|
|
=102,2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||