c =(1,−2,2). Какую ориентацию имеет тройка a,b,c?
5.3.18. Даны векторы a = 2i − j +3k; b =3i + j − k; c =i + 2 j + k. Найти объем
параллелепипеда, построенного на этих векторах.
5.3.19. Найти объем пирамиды с вершинами A(1,2,0), B(3,0,−3),
C (5,2,6), D(2,0,1). Найти высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.
5.3.20.Компланарны ли векторы a =(2,−1,1), b =(3,2,−1), c =(1,−4,3)?
5.3.21.Лежат ли точки A(0,1,2), B(2,0,−1), C (3,2,−3), D(1,3,−6) в одной плос-
кости?
Тема 6. Комплексные числа
6.1. Типовые примеры Пример 6.1.1. Найти модули и аргументы чисел а) z1 = −2 − 2i ,
б) z2 =1 − 3i , в) z3 = −2i .
Решение
а) z1 = −2 − 2i Re z1 = x1 = −2 < 0, Im z1 = y1 = −2
|
z |
|
= r = (−2)2 + (−2)2 = 8 = 2 2 , |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
+ π= π + π= 5π. |
|
||||
arg z |
|
=ϕ =arctg −2 |
|
||||||||
1 |
1 |
−2 |
4 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) z2 =1 − 3i Re z2 = x2 =1 > 0, Im z2 = y2 = − 3 |
|
||||||||||
|
|
z2 |
|
= r2 = 12 + (− 3 )2 = 4 = 2 , |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
arg z2 =ϕ2 =arctg |
− 3 |
+ 0 = −arctg |
3 = |
π |
|||||||
1 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
24
в) z3 = −2i . В том случае, когда комплексное число является чисто действительным или чисто мнимым, его модуль и аргумент можно определять непосредственно
из чертежа: ϕ3 = −π2 , r3 = 2 (Рис. 6.1.1).
y |
|
–1 O |
1 2 |
|
x |
–1 |
ϕ3 |
|
|
–2 |
–2i |
Рис. 6.1.1
6.2.Контрольные вопросы
1)Что называется комплексным числом?
2)Геометрическое изображение комплексного числа. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?
3)Комплексно-сопряженные комплексные числа. Свойство произведения комплексно-сопряженных чисел.
4)Правила выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме.
5)Тригонометрическая форма комплексного числа.
6)Формула Эйлера.
7)Показательная форма комплексного числа.
8)Правила арифметических действий над комплексными числами в показательной форме.
6.3.Практические задания
6.3.1. Изобразить геометрически, найти модуль и аргумент комплексного чис-
ла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) z =1 + i ; |
2) z = −2 + 2i ; |
|
|
|
3) z =5i ; |
4) z =2 ; |
|
|
|
||||||||
5) z = −3 −3i ; |
6) z = −3; |
|
|
|
|
|
|
7) z = −5i ; |
8) z =1 − 2i ; |
||||||||
9) |
z =1; |
10) z = −1; |
|
|
|
|
|
11) z =i ; |
12) z = −i ; |
|
|||||||
13) z = −3 + 3i ; |
14) z = − |
3 −3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.3.2. Выполнить действия z + z |
2 |
, |
z − z |
2 |
, |
z |
z |
2 |
и |
z1 |
над числами z и |
z |
2 |
в ал- |
|||
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
z2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гебраической форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
z1 = 2 − 3i , z2 = 4 + i ; |
|
|
|
2) z1 = −5 , z2 =3i ; |
|
|
|
|
||||||||
3) |
z1 = 2i , z2 =1 −i ; |
|
|
|
|
4) z1 = −1 − 4i , z2 =3i − 2 . |
|
|
|
||||||||
25
6.3.3. Выполнить действия: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
(2 + 3i)(3 − 2i) ; |
2) |
(a + bi)(a −bi) ; |
||||||||
3) (3 − 2i)2 ; |
4) (1 + i)3 . |
|
|
|
|||||||
6.3.4. Вычислить в алгебраической форме: |
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
(3 −i)(2 + 5i) −i(4 −i) ; |
2) |
3 + i |
+ |
4 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
i + |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
1 − 2i |
|
||||
3) |
|
3 + 7i |
− 3 − 7i ; |
4) |
2 |
+ 3i(4 −i) ; |
|||||
|
2 −3i |
1 −i |
|||||||||
|
|
2 + 3i |
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
5 |
+ (1 − 2i)(3 + i) . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.5. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные
числа: |
|
|
|
1) z =3; |
2) z = −2 ; |
3) z =3i ; |
4) z = −2i ; |
5) z = 2 − 2i ; |
6) z = −1 +i 3 ; |
7) z = − 3 −i ; |
8) z =1 +i ; |
9) z = −1 −i ; |
10) z = 2 3 − 2i . |
|
|
6.3.6. Записать в алгебраической форме комплексные числа:
1) |
|
i π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) z =5eiπ ; |
|
|
|
3) |
|
|
−i |
π |
|||||||||||
z =3e |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 2e |
2 ; |
|
|||||||||
|
i |
7π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−i |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3π |
|
|||
4) |
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
z = |
3 ; |
|
|
|
|
6) z = |
|
2e |
||||||||||||
z = e |
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
4 . |
||||||||||||||||
6.3.7. Выполнить действия z |
z |
2 |
и |
z1 |
над числами |
z |
|
и z |
2 |
в показательной |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
7π |
|
|
|
|
|
|
−i |
π |
|
|
|
|
|
−i |
3π |
|
|
|
|
i |
π |
|
|
|
|||
1) |
z = e |
6 , z |
2 |
= 2 2e |
3 ; |
|
|
|
|
2) |
z =3e |
4 , |
z |
2 |
= 4e |
2 ; |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z = 2eiπ, z |
|
= 2 2ei |
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
2 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.8. Найти z |
z |
2 |
и |
z1 |
|
в показательной форме, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2
z1 = 2 − 2i , z2 = 3 + i . 26