РАЗДЕЛ. II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4.1. Типовые примеры

Пример 4.1.1. Для заданных векторов a,b

(РИС.

bG

4.1.1)построить векторы 2a +b, a −

1 b .

2

Решение. Используя определения линейных пре-

аG

образований над векторами, получим (рис. 4.1.2)

рис. 4.1.1

G

G

1 G

G

−

1 G

2а

+b

G

а

2

b

b

G

b

2

G

2а

а

РИС. 4.1.2

Пример 4.1.2. Даны точки А(1,1,1), B(2,−1,1), C(−2,0,−1) . Найти вектор

2 АB −3 АC и его модуль.

Решение.

AB = (1,−2,0) 2AB = (2, −4,0)

AC = (−3, −1, −2) 3AC = (−9,−3,−6)

2AB −3AC =(2 +9, − 4 +3, 0 + 6) =(11,−1,6) ,

2AB −3AC

=

112 + (−1)2 + 62 =

158 .

Пример 4.1.3. Дан вектор a =3i − 4 j − k . Найти:

1)

модуль вектора; 2)

направляющие косинусы вектора; 3)орт вектора.

Решение. Запишем вектор a в координатах

a =(3,−4,−1).

1) Найдем модуль вектора

a

=

9 +16 +1 = 26 ;

2) найдем направляющие косинусы вектора

16

cosα =

3

, cosβ= −

4

, cos γ = −

1

;

26

26

26

3) запишем орт вектора, координатами которого являются направляющие

косинусы

a

0

=

3

;

−4

;

−1

.

26

26

26

Пример 4.1.4. Найти координаты точки М , делящей отрезок АB в отно-

шении 2:3, где А(4,−3,0), B(9,8,5) .

Решение.

Так как

АM

= 2

= λ, то получим

MB

3

4

+

2

9

−3 +

2

8

0

+

2

5

3

x

=

3

= 6, y

M

=

=1, z

M

=

3

= 2 .

M

1 +

2

1 +

2

1 +

2

3

3

3