Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

630.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

3.1. Типовые примеры Пример 3.1.1. Решить систему двух линейных уравнений по методу Кра-

мера

1,4x + 2,1y = 0,7 ,0,3x −5,2 y =5,8 .

Решение. Вычислим определители

1,4

2,1

= −7,28 − 0,63 = −7,91,

0,3 −5,2

x =

0,7

2,1

= −3,64 −12,18 = −15,82,

5,8 −5,2

y =

1,4

0,7

=8,12 − 0,21 = 7,91.

0,3

5,8

Найдем решение системы по формулам Крамера

x = −15,82

= 2, y =

7,91

= −1.

−7,91

Пример 3.1.2. Решить систему трех линейных уравнений методом Краме-

ра

x − y + z = 4,

3x − z =5,

x −3y + 2z = 7.

Решение. Вычислим четыре определителя

1 −1

4 −1

0 −1

= −5,

x =

0 −1

= −10,

1 −3

7 −3

1 −1

= −5.

y =

3 5 −1

=5,

z =

3 0 5

1 −3

Найдем решение системы по формулам Крамера

x =

−10

= 2,

y =

= −1,

z =

−5

=1.

−5

Пример 3.1.3. Решить систему линейных уравнений матричным методом

x + y + z = 4,
	2x + z =9,

2x + 3y − 2z = −15.

Решение. Решим систему уравнений матричным методом. Запишем три матрицы

		1 1 1										x								4
				2 0 1						X =							B =			9
		A =		2 0 1			,			X =		y ,					B =			9		.

				2 3 −2								z							−15
и систему уравнений в матричной форме AX = B.
Найдем определитель матрицы A
							A			1 1		1
										1 1		1
								=		2 0		1			=9.
								=		2 0		1			=9.
										2 3 −2
Так как	A	≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.
Так как	A	≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A и со-
ставим из них матрицу A и ее транспонированную
					3 6		6									3 5			1
					5 −4 −1							T				6 −4 1
		A =			5 −4 −1				,		A			=		6 −4 1				.
					1 1		−2
					1 1		−2									6 −1 −2
Запишем обратную матрицу в виде
															1	5		1
							3 5		1						3	9		9
						1	3 5		1						3	9		9
		A	−1		=	1	6 −4 1					=			2	−	4	1			.
		A			=	9	6 −4 1					=			3	−	9	9			.

							6 −1 −2
							6 −1 −2								2	−	1	−	2
																−	9	−	9
													3				9		9

Найдем решение системы

											1	5		1
											3 9 9									4					2
											3 9 9									4					2
				X = A	−1		B =				2	−	4 1							9				=	−3	,
				X = A			B =				3	−	9	9						9				=	−3	,

																									5
											2 1 2								−15						5
												−		−
											3	−	9	−		9
											3		9			9
Следовательно, x = 2, y = −3,									z =5.
Пример 3.1.4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
									x − y − z = 2,

									3x + 2 y + z =5,
																		=5.
									2x + y + 2z									=5.
Решение. Составим расширенную матрицу																							системы, добавив к основ-
Решение. Составим расширенную матрицу																					A		системы, добавив к основ-
ной матрице A столбец свободных членов.																		Затем с помощью элементарных
преобразований приведем матрицу												к треугольному виду
преобразований приведем матрицу											A	к треугольному виду
			1 −1 −1				2 1 −1 −1										2					1 −1 −1					2
			1 −1 −1				2 1 −1 −1										2					1 −1 −1					2
				3 2 1			5				0 5 4											0 15 12					−3

	A =																−1											~
				2 1 2			5				0 3 4						1					0 15 20					5


		1 −1 −1				2		1 −1 −1							2
		1 −1 −1				2		1 −1 −1							2
			0 15 12			−3				0 5 4

									~						−1 = B .
			0 0 8			8				0 0 1					1

Определим число решений системы. Для этого найдем ранг основной матрицы rA =3 , ранг расширенной матрицы rA =3 . Следовательно, система имеет решение, согласно теореме Кронекера-Капелли. Так как число неизвестных n =3 , а значит rA = rA = n , то система имеет единственное решение. Для

этого запишем систему, соответствующую матрице B и решим ее, получим

x − y − z = 2,		x = 2,

5y + 4z = −1,		y = −1,

z =1.		z =1.

Пример 3.1.5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

x + y + z =1,2x +3y + 4z =5,x − z = −2.

Решение. Составим расширенную матрицу A и приведем ее к треуголь-

ному виду
		1 1			1	1	1 1		1	1			1 1 1	1
		1 1			1	1	1 1		1	1			1 1 1	1

	A =	2 3			4	5		0 1	2	3			0 1 2	3	= B .
	A =	2 3			4	5		0 1	2	3			0 1 2	3	= B .
		1 0 −1				−2		0 −1 −2		−3			0 0 0	0


Так как rA = 2,		r		= 2,		n =3,	то есть rA = r					< n, то по теореме Кронекера-
Так как rA = 2,		r	A	= 2,		n =3,	то есть rA = r				A	< n, то по теореме Кронекера-

Капелли система имеет бесчисленное множество решений. Найдем это множе-

ство. Для этого запишем систему уравнений, соответствующую матрице B

x + y + z =1,x + 2 y =3.

Положим z =t . Подставим это значение в систему и выразим x, y через t

x + y + t =1,	y = −2 + t,

x + 2t =3	x =3 − 2t.
Получено решение x =3 − 2t, y = −2 + t,	z =t при любом действительном зна-
чении t .

3.2.Контрольные вопросы

1)Сформулируйте правило Крамера решения систем линейных уравнений.

2)Сформулируйте матричный метод решения систем линейных уравнений.

3)В чем состоит метод Гаусса? Сформулируйте схему его применения.

3.3.Практические задания

Решить системы линейных уравнений методом Крамера:

2x − y − z = 4,

3.3.1.3x + 4 y − 2z =11,

3x − 2 y + z =8.

	x + y + z = 26,
3.3.2.		= 4,
	x − y
		− z = 6.
	x

x + y + 2z =1,

3.3.3.2x − y + z = 2,x + 3y + 3z = 2.

	x − y + z = −5,
3.3.4.		2x + y	= −2,


	x + 2 y + z =1.

x + y + z =36,

3.3.5.x − y + z =13,−x + y + z = 7.

Решить матричным методом линейные системы уравнений:

		x + y + z =3,
3.3.6.			= −10,
	−x + 2 y
		−x − y + 3z =5.

	3x − y		=5,
3.3.9.			= −1,
	x + y

	x + y + z = 0.

2x − y − z =3,

3.3.7.x − y + 2z = −1,x + 3y + 2z = 0.

	x + y + z = 0,
3.3.10.			=5,
	2x − y
		6x − y	=11.

x + 2 y − z =1,

3.3.8.2x + 3z = −2,3x + y + z = −2.

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

x − 2 y − z =1,

3.3.11. x + 3y + z = 2,

x − 4 y − 2z = −1.

x − 2 y − z =1,

3.3.14.+ 2z =5,

−5z = −2.2x + yx − 7 y

x + 3y − 2z =8,

3.3.12. 4x +5y − z =11,

2x − y + 5z = −7.

3x − y − z =1,

3.3.15. x + 2 y + z = 2,

3x −8y −5z =3.

2x − y − z = 4,

3.3.13.3x + 4 y − 2z =11,

3x − 2 y + z =8.

x − 2 y + 3z = 6,

3.3.16.2x −3y + z = −1,3x + y − 2z = −1,4x + 2 y −3z = −1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МатАн_ЛинАлг_080100

#
26.02.2016454.39 Кб44Лекции_Математика_1_Линейная_алгебра.pdf
#
26.02.2016494.69 Кб51Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление.pdf
#
26.02.2016573.11 Кб48Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление.pdf
#
26.02.20161.52 Mб59МА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016855.38 Кб43Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб47ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб56ПланыПЗ_МА_080100.pdf