Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
630.28 Кб
Скачать

a =(0,1,1), b =(2,0,1), c =(1,2,1).

Решение. Найдем смешанное произведение векторов

abc =

 

0

1

1

 

 

 

 

 

2

0 1

 

=1 4 2 = −5.

 

 

1

2

1

 

 

5.2.Контрольные вопросы

1)Что называется скалярным произведением двух векторов?

2)Сформулируйте свойства скалярного произведения.

3)Запишите выражение скалярного произведения в координатах.

4)Как найти угол между векторами?

5)Запишите условие перпендикулярности двух векторов.

6)Какая тройка векторов называется правой?

7)Что называется векторным произведением двух векторов?

8)Перечислите свойства векторного произведения.

9)Запишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах.

10)Запишите формулы для вычисления площадей треугольника и параллелограмма по известным координатам их вершин;

11)Что называется смешанным произведением векторов?

12)Как записывается смешанное произведение в координатах?

13)Как найти объем параллелепипеда и пирамиды по их вершинам?

14)Какие векторы называются компланарными?

15)Каково условие компланарности векторов?

5.3.Практические задания

5.3.1.Дано: a = 2 , b =3, α = (a, b) = π4 . Найти: a b , a2 , b2 , (a +b)(2a b).

5.3.2.Дано: a =3, b = 2 , a b =5. Найти: (a 2b)(3a +b).

5.3.3. Дано: a =(3,0,1), b =(1,2,3). Найти:

a b,

a2 , b2 , (2a b)(3a + 2b)

двумя способами.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.4. Дано: a = 2i j + k, b =i +3 j 4k. Найти: a b,

 

(a b)(a +b).

5.3.5. Дано: a =(2,1,1), b =(3,1,0). Найти:,

a b,

 

a

 

,

 

b

 

 

 

 

, cos(a, b).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

5.3.6. Будут ли векторы a =(2,1,3), b =(0,3,1), c =(1,1,1) взаимно перпенди-

кулярны?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.7. Найти

 

a ×b

 

,

 

(a 2b)×(2a + b)

 

, если

 

a

 

=3,

 

b

 

 

 

=

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2, α = a,

b

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.8. Даны векторы a =(1,2,0), b =(3,1,2).

Найти a ×b, (2a b)×(a +3b)двумя способами.

5.3.9.Найти (a b)×(a +b)двумя способами, если a =(1, 1,0), b =(2,0,1).

5.3.10.Будут ли векторы a =(1,1,2), b =(3,3, 6). коллинеарны? Проверить

двумя способами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.11. Найти

площадь

треугольника

АВС,

если

A(1,3,0),

B(1,3, 1),

C (3,5,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3.12. Найти

площадь

 

параллелограмма,

 

построенного

на

векторах

p = a + 2b, q =3a b, если

 

a

 

=1,

 

b

 

 

 

 

=

5π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2, a,

b

6

 

 

 

5.3.13. Найти вектор N,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a b

и a + 2b, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярный векторам

a =(1,1,2), b =(2,1,0).

5.3.14. Найти момент силы F =(2,1,3),

приложенной к точке P(1,3,0) отно-

сительно точки O(0,1,2).

 

 

5.3.15. Найти линейную скорость точки М, если OM =(2,1,1),

ω=(1,3, 1)

угловая скорость вращения.

 

 

5.3.16. Найти площадь треугольника, построенного на векторах

a и b, если

 

a

 

= 4,

 

b

 

 

 

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=3, a, b =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторов a =(1,2,1),

b =(0,3,2),

 

 

 

 

 

 

 

5.3.17. Найти

смешанное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23