Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
630.28 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1. Вычисление определителей

1.1. Типовые примеры Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу

=

a11 a12

= a a

22

a a ,

 

a21 a22

11

12

21

 

 

 

 

 

он равен разности между произведением элементов, стоящих на главной диагонали, и произведением элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется по следующему правилу

 

a11 a12 a13

 

=

a21

a22

a23

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

 

a31

a32

a33

a13 a22 a31 a12 a21a33 a11 a23a32 .

Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса («треугольников»), имеющего вид

+

РИС. 1.1.1

Произведение элементов, вычисленных по схеме « + », входят в сумму со своими знаками, а по схеме « – » с противоположными знаками.

Пример 1.1.1. Вычислить определители

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

, б)

 

2 1 3

 

.

 

1

4

 

 

 

0

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Согласно правилу вычисления определителей, находим:

a)

 

2

3

 

= 2 4 1 (3) =8 + 3 =11;

 

 

 

 

1

4

 

 

4

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

2 1 3

=1 (1) (4) + 0 3 0 + 2 2 (2)

 

 

 

 

 

 

0

2

4

0 (1) 2 (2) 0 (4) 1 3 2 = 4 8 6 = −10.

Пример 1.1.2. Вычислить минор M32

и алгебраическое дополнение A32

определителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и вычислить определитель разложением его по элементам первой стороны.

Решение. На пересечении третьей строки и второго столбца находится

элемент a32 = −4. Найдем его минор и алгебраическое дополнение

 

 

M

 

=

 

2 1

 

= 2 3 = −1;

A

= (1)3+2 M

 

= −(1) =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

3

1

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

Вычислим определитель, раскладывая его по элементам первой строки

 

= (1)1+1

2

 

1

 

1

 

+ (1)1+2 0

 

3 1

 

+ (1)1+3 (1)

 

3 1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 5

 

 

0 5

 

 

0 4

 

2 (5 + 4) 0 (15 0) 1 (12 0) =18 12 = 6.

Пример 1.1.3. Вычислить определитель, используя его свойства

 

 

1

1

1

 

 

 

 

=

 

5

0

1

 

.

 

 

1

3

2

 

 

Решение. Преобразуем определитель к такому виду, чтобы в первой строке элементы a12 и a13 равнялись нулю. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем вычтем из третьего, получим

 

1 1 +1

1 1

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

=

5 0 + 5 1 5

 

=

 

5

5

6

 

.

 

1 3 +1

2 1

 

 

 

1 2 1

 

 

Теперь вычислим определитель разложением его по первой строке

1+1 5 6

 

=1 (1)

2 1

=5 12 = −7.

Пример 1.1.4. Вычислить определитель четвертого порядка

5

 

1

1

2

0

 

 

 

 

=

0

1

1

2

 

.

 

2

1

3

1

 

 

 

3

2

1

2

 

 

Решение. Вычисление определителя четвертого порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка, используя теорему о разложении определителя. Однако, можно предварительно преобразовать определитель, «обнуляя», например, первую строку. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем, умножим его на (–2) и прибавим к третьему. Получим

 

1

0

0

0

 

1

1

2

 

 

 

 

 

0

1

1

2

 

 

=

=1 (1)1+1

1 7

1

.

2

1 7

1

 

3

5

7 2

 

5

7

2

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично «обнулим» первый столбец и вычислим определитель

 

 

1

1

2

 

 

 

1

1

2

 

 

 

8 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

7

1

 

=

 

0

8

3

 

=

 

= 64 36 = 28.

 

 

5

7 2

 

 

 

0 12 8

 

 

 

12 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.Контрольные вопросы

1)Что называется матрицей, определителем?

2)Запишите правило вычисления определителей второго и третьего порядков.

3)Что называется минором, алгебраическим дополнением?

4)Как формулируется теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца?

5)Сформулируйте свойства определителей.

1.3.Практические задания

Вычислить определители второго порядка:

1.3.1.

 

1

3

 

1.3.2.

 

3 2

 

.

 

;

 

 

 

 

2

2

 

 

 

1 5

 

 

Вычислить определители третьего порядка тремя способами: а) по правилу треугольника;

6