- •ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
- •080100.62 Экономика
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Вычисление определителей
- •1.2. Контрольные вопросы
- •1.3. Практические задания
- •Тема 2. Действия над матрицами
- •2.1. Типовые примеры
- •2.2. Контрольные вопросы
- •2.3. Практические задания
- •Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.2. Контрольные вопросы
- •3.3. Практические задания
- •Раздел. II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 4. Векторы. Линейные операции над векторами.
- •4.1. Типовые примеры
- •4.2. Контрольные вопросы
- •4.3. Практические задания
- •Тема 5. Произведения векторов
- •5.1. Типовые примеры
- •5.2. Контрольные вопросы
- •5.3. Практические задания
- •Тема 6. Комплексные числа
- •6.2. Контрольные вопросы
- •6.3. Практические задания
- •Раздел. III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •Тема 7. Основные задачи аналитической геометрии
- •7.2. Контрольные вопросы
- •7.3. Практические задания
- •Тема 8. Кривые второго порядка
- •8.1. Типовые примеры
- •8.2. Контрольные вопросы
- •8.3. Практические задания
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
2)2a −3b;
3)a , направляющие косинусы вектора a, орт a0 .
4.3.3.Даны точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) .
Найти: 1) AB, AC, 2 AB − 4 AC;
2)AB , AC ;
3)направляющие косинусы вектора AB .
4.3.4.Доказать, что точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) , D(−1,0,−4) являются
вершинами параллелограмма. Найти длины сторон и диагоналей этого параллелограмма.
4.3.5. Дан треугольник с вершинами A(−2,0,2), B(4,−2,3), C(0,2,3) .
Найти: 1) длины сторон треугольника;
2)координаты точки М - середины стороны ВС;
3)вектор AM и длину медианы АМ.
4.3.6. Найти |
координаты точек M, N, |
делящих |
отрезок |
АВ |
с |
концами |
|||||||||||||||
A(−1,0,4), B(5,12,−2) на три равные части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.3.7. Найти |
координаты |
центра тяжести |
однородного стержня |
с |
концами |
||||||||||||||||
A(−2,1,4), B(0,5,−2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тема 5. Произведения векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.1. Типовые примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 5.1.1. Для |
двух |
векторов |
a |
и |
b |
дано |
|
a |
|
= 4 , |
|
b |
|
=5 , |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
α = (a, b) = |
π. Найти a b , a2 , |
(a + 2b)(a −b). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению скалярного произведения векторов имеем |
|||||||||||||||||||||
|
ab = |
|
a |
|
|
cos(a b ) = 4 5 |
cos |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
=10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = a a cos(0 ) = a 2 =16 .
Используя свойства скалярного произведения, получим
(a + 2b )(a −b )= a2 + 2b a − a b − 2b 2 = a2 + a b − 2b 2 = = a 2 + ab cos(a b) − 2 b 2 =16 +10 − 2 25 = −24.
Пример 5.1.2. Дано: a =(0, −1,1), b =(2,1,0).
Найти: 1) a b ;
2) (3a −b )(a +b )двумя способами.
Решение. 1) Используя формулу для вычисления скалярного произведения, получим
ab = 0 2 + (−1) 1 +1 0 = −1.
2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,
(3a −b )(a +b )=3a2 −b a +3ab −b 2 =3a2 + 2ab −b 2 .
Так как ab = −1, 3a2 =3 a 2 =3 (0 +1 +1)= 6 b 2 = 4 +1 + 0 =5 , то получим
(3a −b )(a +b )=6 − 2 −5 = −1;
3)второй способ: найдем координаты сомножителей
3a −b =(0,−3,3)−(2,1,0)=(−2,−4,3),
a + b =(0,−1,1)+ (2,1,0)=(2,0,1).
Тогда
(3a −b )(a +b )=(−2) 2 + (−4) 0 + 3 1 = −1.
Пример 5.1.3. Даны вершины треугольника A(−1,0,2), B(0,3,−1),
C (4,2,1). Найти угол при вершине А.
Решение. Составим два вектораAB и AC с общим началом – точкой А. Получим
AB =(0 +1,3 − 0, −1 − 2)=(1,3,−3),
19
AC =(4 +1,2 − 0,1 − 2)=(5,2,−1).
Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами AB и AC
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 + 3 2 + (−3) (−1) |
|
|||||||||||||||||||||
|
cos( AB |
AC) = |
|
|
|
AB AC |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
AC |
|
1 + 9 + 9 25 + 4 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
= |
|
14 |
|
≈0,59. |
|
|
||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
19 |
30 |
|
570 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = arccos0,59 ≈540. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 5.1.4. Найти |
|
a ×b |
|
, |
|
|
|
|
(a + b)×(b − 2a) |
|
, если |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
= 2, |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 4, α = a b = |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В силу определения векторного произведения имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a ×b |
|
= |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 4. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin a |
|
b = 2 4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пользуясь свойствами векторного произведения, получим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(a +b)×(b − 2a)= a ×b +b ×b − 2a ×a − 2b ×a. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
a ×a =0, |
b ×b =0, |
b ×a = −a ×b, |
то (a +b)×(b − 2a)=3 a ×b, а |
значит
(a + b)×(b − 2a)=3 4 =12.
Пример 5.1.5. Дано: a =(−1,3,0,), b =(0,2,−1).
Найти a ×b , a ×b , (a − 2b)×(2a +3b).
Решение. Пользуясь формулой векторного произведения, получим
|
|
|
|
a ×b = |
|
3 |
0 |
|
, − |
|
−1 0 |
|
, |
|
−1 3 |
|
=(−3,−1,−2), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тогда |
|
a ×b |
|
= (−3)2 +(−1)2 + (−2)2 |
= |
14 ≈3,74 . |
||||||||||||
|
|
Найдем координаты сомножителей
a − 2b =(−1,3,0)−(0,4,−2)=(−1,−1,2), 20
2a + 3b =(−2,6,0)+ (0,6,−3)=(−2,12,−3).
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
, − |
|
−1 2 |
|
, |
|
−1 −1 |
|
|
=(−21,−7,−14). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(a − 2b )×(2a + 3b )= |
|
12 |
−3 |
|
|
−2 −3 |
|
|
−2 12 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.1.6. Найти площадь треугольника АВС, если известны его вер-
шины A(1, −1,2), B(2,−3,5), C (3, −1,3).
Решение. Воспользуемся формулой площади треугольника через коорди-
наты векторов AB, AC
S = 12 AB × AC .
Для этого найдем координаты векторов AB =(1,−2,3), AC =(2,0,1) и их
векторное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
,− |
|
1 3 |
|
, |
|
1 |
−2 |
|
|
4). |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
AB × AC = |
|
0 |
1 |
|
|
2 1 |
|
|
2 |
0 |
|
=(−2, 5, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB × AC |
|
= |
4 + 25 +16 = |
|
45 ≈6,7, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то площадь треугольника равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = 1 |
|
|
45 ≈3,35 (кв.ед). |
|
2
Пример 5.1.7. Найти вектор N, перпендикулярный плоскости, в которой лежат три точки A(1,−1,0), B(0,1,2), C (2,0,1).
Решение. Если вектор N перпендикулярен плоскости, то он перпенди-
кулярен любым прямым, лежащим на плоскости, в частности, векторам AB и
AC . Это значит, что в качестве вектора N можно взять векторное произведе-
ние AB × AC . Так как, AB =(−1,2,2), |
|
AC =(1,1,1), то |
|
||||||||||||
|
|
2 2 |
|
, − |
|
−1 2 |
|
, |
|
−1 2 |
|
|
=(0,3,−3). |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N = AB × AC = |
|
1 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.1.8. Найти смешанное произведение трех векторов
21