Расчет на прочность

4. Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем ве­личину необходимого осевого момента сопротивления сечения балки. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

Для стали 45 предел текучести =600МПа, примем коэффициент запаса прочностип_Т = 2. И вычисляем допускаемое напряжение

Так как в опасном сечении , следовательно из условия прочности определяем необходимый осевой момент сопротивления сечения балки:

Рис. 24. Расчетная схема бруса, эпюры перерезывающей силы Q_y, изгибающего момента М_х, углов поворота θ и прошибов у.

5. Подбираем сечения по величине необходимого осевого момента со­противления изгибу.

5.1. Прямоугольное сечение балки:

Примемh = 2b для прямоугольного сечения имеем.

принимая W_x = 200 см , определяем размер

Площадь сечения А₁=bh=6,7·2·6,7=89,78 см².

5.2. Квадратное сечение балки:

Для квадратного сечения имеем , откуда

. Поскольку W_x = 200 см³, то

. Площадь сечения

А₂=10,63²=112,99 см².

5.3. Круглое сечение балки:

Для круглого сечения, следовательно

Поскольку W_x = 200 см³, то Площадь сечения

5.4. Кольцевое сечение балки:

ЗадаетсяD = 1,25d. Для кольцевого сечения ПосколькуW_x =200 см³, то

Площадь сечения

5.5. Двутавровое сечение балки:

По таблице сортамента (ГОСТ 8239-72) ближайшийосевой момент сопротивления W_xmабл = 203 см³ . Это­му моменту сопротивления соответствует двутавр №20а с площадью поперечного сечения А₅=28,9 см². Поскольку табличное значение осевого момента

W_xmaбл несколько отличается от расчетного значенияW_x, то

6. Определение процента напряжения и перенапряжения материала балки по отношению к допускаемому напряжению для двутаврового сече­ ния.

7. Оцениваем экономичность подобранных сечений по отношению к наименьшему (двутавровому), принимая площадь А₅ за 100%.

A₅:A₄:A₃:A₂:A₁=100:460:432:390:310%

Следовательно, наиболее экономичным с точки зрения металлоемко­сти является двутавровое сечение балки.

8. Оценка прочности балки двутаврового сечения по касательным на­ пряжениям.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

Из эпюры поперечных (перерезывающих) сил (рис.24) . Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239-72) для двутавра №20а находим S_xmax =114см³, I_x = 2030см⁴, b=d = 0,52 см. По третьей теории прочности [τ] = 0,5[σ] = 0,5·300 = 150МПа.

Следовательно, условие прочности по касательным напряжениям вы­полняется.

9. Выбор опасного сечения.

В рассматриваемом примере опасным является сечение D (рис. 24),где действует и.

10. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении.

Нормальные напряжения в опасном сечении (сеч. D) вычисляются поформуле.

где у_i- расстояние от оси х до рассматриваемого слоя.

Поскольку в опасном сечении М_хmax > 0, то слои, расположенныевыше нейтральной линии, будут испытывать сжатие, ниже нейтральной линии – растяжение (рис. 25).

11. Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении.

Представим условно двутавровое сечение как фигуру, состоящую из трех прямоугольников: двух полок размером b·t и стенки размером (h - 2t)·d, выбираемыми из таблицы сортамента. Касательные напряже­ния в точках D, E, F, G, К, L, М определяются по формуле Д. И. Журавско-го (Рис. 25. б):

12.1. Точка D.

следовательно

12.2.Точка Е.

I_x = 2030 см⁴; b = 11 см; h = 20 см; t = 0,86 см.

12.3. Точка F.

I_x =2030 см⁴; =90,53 см³; d = 0,52 см. Поскольку в точке F шири­на рассматриваемого слоя b = d = 0,52 см, следовательно касательное на­пряжение равно:

12.4. Точка G.

I_x =2030 см⁴; =114 см³;b=d = 0,52 см.

12.5.-12.7. Точки K,L,M.

Поскольку эпюра касательных напряжений т симметрична относи­тельно оси х, то расчет в точках К, L, М можно не выполнять.

13. Проверяем прочность балки двутаврового сечения по эквивалент­ ным напряжениям.

Наиболее опасным с точки зрения прочности по эквивалентным на­пряжениям являются точки F и К. Условие прочности для точки F по третьей теории прочности запишется:

откуда

Таким образом, условие прочности по эквивалентным напряжениям для балки двутаврового сечения №20а выполняется.

14. Проверяем прочность балки двутаврового сечения по эквивалент­ ным напряжениям в сечении Е (рис. 24), так как в этом сечении изгибающий момент М_х близок к максимальному значению М_х =4,4ql², а попе­речная сила Q_y значительно больше, чем в опасном сечении D - Q_ymax=-4,4ql. Проверка осуществляется для слоя F сечения балки.

Условие прочности не выполняется, следовательно для дальнейших расчетов принимаем двутавр №22 с параметрами: I_x= 2550 см⁴,W_х=232см³, S_x=131см³, h=220мм, b=110мм, t=8,7мм, d =5,4 мм.

Вновь вычисляем напряжения в слое F:

Условие прочности выполняется, следовательно для расчетов на прочность принимается двутавр №22.

Рис. 25. Эпюры нормальных (а) и касательных (б) напряжений в

опас­ном сечении балки.

15. Расчет балки двутаврового сечения на жесткость.

Для выполнения расчетов необходимо составить расчетную схему (рис. 26). С этой целью начало координат располагают в крайнем левом сечении балки, прерывающуюся распределенную нагрузку q продлеваем до крайнего правого сечения, и добавляем аналогичную нагрузку интен­сивностью q, но направленную в противоположную сторону.

Универсальное уравнение для углов поворота заданной балки имеет вид:

Универсальное уравнение прогибов заданной балки имеет вид:

Приведенные варианты справедливы соответственно в пределах пер­вого, второго, третьего и четвертого участков балки. Постоянные у₀ и θ₀ представляют собой прогиб и угол поворота крайнего левого сечения бал­ки (сеч. А) и называются начальными параметрами. Их определяют из гра­ничных условий – условий закрепления балки. Поскольку балка опирается на опоры в сечениях А и В, следовательно линейные перемещения в этих сечениях отсутствуют, то есть:

а) если z=0, то у =0

б) если z=5l, то y=0

Рис. 26. Схема к составлению универсальных уравнений прогибов и

углов поворота сечений балки.

Используя граничное условие (а) для уравнения прогибов на первом участке, имеем:

, следовательно y₀=0.

Используя граничное условие (б) для уравнения прогибов на четвер­том участке, имеем:

следовательно

Вычисляем значения y_i и θ_i по границам и в середине участков.

1.

Расчеты углов поворота θ и прогибов у для точек z=3,5l; z=4l; z=4,5l; z=5l выполняются аналогично.

Полученные значения сводим в таблицу.

Координата сечения	Угловое перемещение сечения;	Линейное перемещение сечения;
0	-3,587	0
1	-2,957	-3,359
21	-1,687	-5,714
2,51	-1,17	-6,3899
31	-0,717	-6,894
3,51	1,63	-6,66
41	3,843	-5,278
4,51	6,08	-2,97
51	6,083	0

По полученным значениям строим эпюры углов поворота и прогибов (рис.24.в,г).

Выполняется проверка жесткости балки по условию жесткости.

Поскольку [у]=1 см, то y_max=0,422 < [у]=1 см, следовательно балка двутаврового сечения №22 удовлетворяет условию жесткости. В случае, если условие жесткости не выполняется, то подбор сечения выполняется из условия жесткости, из которого следует, что для данной балки осевой момент инерции равен:

По полученному значению I_x выбирается из сортамента необходимый

профиль. При расчетах на жесткость обычно принимаются значения до пускаемого прогиба [у] = (0,001.. ,0,002)L, где L - длина балки.