Ка са тельные напряжения при поперечном изгибе. Расчет на прочность

Наличие поперечной силы в сечении балки обуславливает появление касательных напряжений т в произвольном слое сечения.

Касательные напряжения определяются по формуле Д. И. Журавского:

(4)

где Q_y - поперечная сила в рассматриваемом сечении; S_x^OTC - статический момент части сечения, расположенного выше рассматриваемого слоя от­носительно главной центральной оси х, I_х - осевой момент инерции сече­ния балки; b - ширина слоя, в котором определяются касательные напря­жения. Знак касательных напряжений определяется знаком поперечной си­лы Q_y в рассматриваемом сечении. Эпюры касательных напряжений по высоте балки приведены на рис 3, б. Закон изменения касательных напря­жений зависит от закона изменения статического момента по высоте сечения S_x^отс.

^{Условие прочности по касательным напряжением имеет следующее выражение:}

(5)

где Q_ymax - максимальная поперечная сила в сечении балки; - макси­мальное значение статического момента отсеченной площади; [τ] - допус­каемое касательное напряжение. Для пластичных материалов [τ]= τ_0.3/n_T, для хрупких [τ]= τ _в/n_в, где τ _в, τ _0,3 - условный предел текучести при круче­нии. Поскольку значение τ _в, τ _0,3 для многих материалов в справочной лите­ратуре отсутствуют, то значение [τ] рекомендуется принимать: для пла­стичных материалов [τ]=(0,5.. 0,6)[σ], для хрупких [τ]=(0,7.. .0,8)[ σ].

Главные напряжения при плоском поперечном изгибе. Условие прочности по эквивалентным напряжениям

При поперечном изгибе материал балки находится в условиях плоского напряженного состояния. В этом случае по одним площадкам действуют одновременно нормальные а и касательные т напряжения, а по другим - главные нормальные напряжения, имеющих экстремальные значения

Значения этих напряжений определяются по следующим зависимостям

(6)

где - нормальные и касательные напряжения в рассматриваемомi-том опасном слое сечения.

Расчет на прочность по главным напряжениям производится по одной из теорий прочности по эквивалентному напряжению.

По третьей теории прочности () условие прочности имеет вид:

(7)

^{По четвертой теории прочности условие прочности имеет вид:}

⁽⁸⁾

Для балок, имеющих сплошные сечения (круг, прямоугольник, квадрат и др.) проверочные расчеты на прочность по главным на­пряжениям обычно не производится в связи с малостью а и т. Основным условием прочности в этом случае (при плоском изгибе) является условие прочности по нормальным напряжениям.

Проверочные расчеты по главным напряжениям необходимо проводить для балок, в сечениях которых имеет место резкие изме­нения размеров (переход от широкой полки к стенке). Это характерно, в частности, для сечений прокатных и сварных балок двутаврового сечения. Если такая балка проектируется вновь, то ее размеры определяют из усло­вия прочности по нормальным напряжениям (Рис. 3, а. б.):

где Мхтах - максимальный изгибающий момент в сечении балки.

Далее, проводится проверочный расчет по касательным напряжениям в опасном слое (на нейтральной оси):

где Q_ymax - наибольшая поперечная сила в сечении; - максималь­ный статический момент для расчетного сечения (из таблиц сортамента);I_х - момент инерции сечения; d - толщина стенки двутавра.

Проверочный расчет по эквивалентным напряжениям проводится для сечения, где действуют возможно больший изгибающий момент и боль­шая поперечная сила. В этом сечении расчет проводится для слоя, где дей­ствуют одновременно достаточно большие нормальные G и касательные т напряжения.

Из анализа проведенных расчетов возможны корректировки в выбран­ных сечениях (см. пример 4).

В приложении приведен пример расчетов по проектированию балки двутаврового сечения.