Пример 4

Задается: схема нагружения балки (рис. 19), длины участков балки 2l, l, распределенная нагрузка интенсивностью q, величина сосредото­ченной силы F=4ql, величина изгибающего момента M = 4ql²; q = 5кН/м; l = 0,5 м; Е=2·10⁵МПа; материал балки сталь 45; коэффициент за­паса прочности п_T.=2; [у] = 0,1 см.

Требуется: построить эпюры перерезывающей силы Q и изгибаю­щего момента М_х при известной нагрузке и схеме нагружения балки. Вы­полнить расчеты на прочность и жесткость.

Рис. 19. Схема нагружения балки.

Решение

1. Определение опорных реакций (рис. 19).

Для определения опорных реакций составляют уравнения равновесия балки:

Выполняем проверку расчетов:

2. Разбивка балки на участки.

Для построения эпюры перерезывающей силы Q_y и изгибающего мо­мента М_х необходимо рассмотреть четыре участка с координатами z₁ z₂, z₃, z₄ (рис. 19).

3. Определение законов изменения перерезывающей силы Q_y и изги­бающего момента М_х по участкам балки. Начало рассматриваемых участ­ков необходимо обозначать точкой, текущее значение z_i стрелкой. Начало последующего участка начинается на границе предыдущего участка.

3.1. Первый участок (рис. 20).

Рис. 20. К определению Q_yl и М_хХ на первом участке.

Координата z₁ для первого участка изменяется в пределах

Уравнения равновесия для осеченной (левой) части балки имеют вид:

Перерезывающая сила участка принимает значения:

при z₁ = 0 Q_y1 =R_A= l,6ql, при z_x = 2l Q_y1 =R_A- 2ql = -0,4ql

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при при

В координатах M_xl-z₁ полученное выражение изгибающего момента М_х1 описывает кривую второго порядка. Определим выпуклость кривой:

, следовательно кривая выпукла вверх.

Условие экстремума кривой

, следовательно, функция имеет экстремум при

Вычислим величину изгибающего момента при :

3.2. Второй участок (рис. 21).

Рис. 21. К определению Q ₂ и М_х2 на втором участке.

Координата z₂ для первого участка изменяется в пределах.

Уравнения равновесия для осеченной (левой) части балки имеют вид:

На втором участке перерезывающая сила постоянна по длине участка и равна Q_y2= -4ql.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при

при

3.3. Третий участок (рис. 22).

Рис. 22. К определению Q ₃ и М_х3 на третьем участке.

Координата z₃ для третьего участка изменяется в пределах .

Уравнения равновесия для осеченной (левой) части балки имеют вид:

На третьем участке перерезывающая сила постоянна по длине участка и равна Q_y3 = -0,4ql.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при

при

Четвертый участок (рис. 23).

Рис. 23. К определению Q_y4 и M_x4 четвертом участке.

Координата z₄ для четвертого участка изменяется в пределах .

Уравнения равновесия для осеченной (левой) части балки имеют вид:

На четвертом участке перерезывающая сила постоянна по длине уча­стка и равна Q_y4 = -4,4ql.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при

при

По результатам вычислений строятся эпюры перерезывающей силы Q_y и изгибающего момента М_х (рис. 24 (а, б)).