Пример 3

Задается: схема нагружения балки (рис. 14), длины участков балки: , распределенная нагрузка интенсивностью, величина сосредоточенной силы, величина изгибающего момента.

Требуется:построить эпюры перерезывающей силы и изгибающего моментапри известной нагрузке и схеме нагружения балки.

Рис. 14. Схема нагружения балки.

1. Определение опорных реакций (рис. 14).

Для определения опорных реакций составляются уравнения равновесия балки:

, откуда .

, откуда .

Проверка: .

2. Разбивка балки на участки.

Для построения эпюры перерезывающей силы и изгибающего моментанеобходимо рассмотреть три участка с координатамии(рис. 14).

3. Определение законов изменения перерезывающей силы и изгибающего моментапо участкам балки. Начало рассматриваемых участков необходимо обозначать точкой, текущее значениестрелкой. Начало последующего участка начинается на границе предыдущего участка.

1. Первый участок (рис. 15).

Рис. 15. К определению ина первом участке.

Координата для первого участка изменяется в пределах. Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части балки имеют вид:

.

На первом участке перерезывающая сила постоянна по длине участка .

.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при , при.

2. Второй участок (рис. 16).

Рис. 16. К определению ина втором участке.

Координата для второго участка изменяется в пределах. Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части балки имеют вид:

.

На втором участке перерезывающая сила постоянна по длине участка и равна .

.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при ,

при .

3.3. Третий участок (рис. 17).

Рис. 17. К определению ина третьем участке.

Координата для третьего участка изменяется в пределах. Уравнения равновесия для отсеченной (правой) части балки имеют вид:

.

Перерезывающая сила на границах участка принимает значения:

при ,

при .

.

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при , при.

В координатах M_x3-z₃ полученное выражение изгибающего момента M_x3 описывает кривую второго порядка. Определим выпуклость кривой:

следовательно кривая выпукла вверх.

Условие экстремума кривой , следовательно, функцияимеет экстремум при.

Вычислим величину изгибающего момента при :

.

По результатам вычислений строятся эпюры поперечной (перерезывающей) силы и изгибающего момента(рис. 18).

4. Выполняем проверку правильности построения эпюр и.

   1. На участке СВ, где действует распределенная нагрузка q:

• эпюра - наклонная прямая;

• эпюра - кривая второго порядка;

• в сечении =0, а изгибающий момент принимает экстремальное значение.

2. В сечениях К, А, С и В, где приложены сосредоточенные силы на эпюре имеют место «скачки» на величину приложенных сил.

3. В сечении К, где приложен сосредоточенный момент на эпюре имеет место «скачок» на величину данного момента.

4. На участках балки, где положительна эпюравозрастает.

Рис. 18. Расчетная схема бруса, эпюры поперечной силы и изгибающего момента.