Законы динамики вращательного движения

Изменение кинетической энергии тела равно работе приложенных к телу внешних сил

. (16)

Подставляя в эту формулу значения соответствующих величин, получим

. (17)

Момент инерции твердого тела относительно данной оси вращения – величина постоянная, поэтому . Так как, то, подставляя это выражение в (17), имеем. Разделив обе части равенства наdt и учитывая, что , получим

(18)

или

. (18а)

Это уравнение представляет собой математическое выражение основного закона динамики вращательного движения. Итак, момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.

Из (18) следует, что , то есть изменение угловой скорости определяется не только моментом внешних сил, но и временем его действия.

Проинтегрируем уравнение в соответствующих пределах:

.

Для абсолютно твердого тела I=const, поэтому

. (19)

Величину, равную , называют импульсом момента внешних сил. Величинуназывают моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси. В данном случаепредставляет собой проекцию на данную ось вектора, определяемого формулой (7). Учитывая изложенное, формулу (19) можно записать иначе:

, (20)

то есть изменение момента импульса твердого тела равно импульсу момента приложенных к нему сил. Если I=const, то формула (18), с учетом выражения для момента импульса, перепишется следующим образом:

. (21)

Это уравнение выражает в иной форме основное уравнение динамики вращательного движения.

Из уравнения (21) следует, что если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным . Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса для случая вращения тела вокруг неподвижной осью. В более общем случае этот закон относится к замкнутой системе тел: для замкнутой системы тел полный момент импульса системы остается постоянным. Этот закон справедлив и для случая, когда момент инерции тела изменяется в результате изменения взаимного расположения отдельных частей тела. Если момент внешних сил равен нулю, то изменение момента инерции вызывает соответствующее изменение угловой скорости, но момент импульса остается постоянным.

Когда изучается вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, следует рассматривать все входящие в законы динамики вращательного движения величины как векторные. Тогда закон динамики вращательного движения можно записать в общем виде:

, (22)

где I – момент инерции тела относительно мгновенной оси. При , то есть при отсутствии момента внешних сил, действующих на тело,. Это означает, что вектор угловой скоростипостоянен, то есть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью и направление оси вращения в пространстве остается также постоянным.

Используя векторы и, можно уравнение (21) записать в векторной форме

. (23)

То есть момент внешних сил равен производной от момента импульса тела по времени относительно любой неподвижной точки.

Когда ,. Из этого следует, что

. (24)

Это уравнение представляет собой запись закона сохранения импульса для случая вращения тела вокруг неподвижной точки: для замкнутой системы тел вектор полного момента импульса системы остается постоянным как по абсолютному значению, так и по направлению.