Теория метода

Трение качения возникает при перекатывании цилиндрического или сферического тела по поверхности другого тела. В качестве примера рассмотрим шар радиусаRи массыm, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости (рис.1). Приложим к центру шара силу , меньшую, чем сила трения покоя, где_о- коэффициент трения покоя;- сила реакции опоры. Тогда в точкеАкасания шара и плоскости возникает сила трения, численно равная силе. Если сила реакции опоры приложена к точкеА, то она уравновешивает силу тяжести, и качение будет происходить только под действием пары силQ и F. При этих условиях качение начинается под действием сколь угодно малой силыQ.

Вреальных условиях при взаимодействии шара и плоскости их поверхности деформируются, и касание происходит вдоль некоторой полосыАВ(рис.1а). Поскольку под действием силыQ сила давления шара на плоскость становится распределенной неравномерно (у краяА убывает, а у краяВвозрастает), результирующая сила реакции опоры имеет точку приложения, смещенную к точкеВ, то есть в сторону действия силыQ на шар. С увеличениемQэто смещение возрастает до некоторой величины. И в этом предельном положении на шар будут действовать две пары сил с моментами относительно точкиМ.

,

(1)

,

где R– радиус шара.

Эти моменты уравновешивают друг друга. Из равенства М₁=М₂найдем значениеQ_пр

(2)

Пока Q< Q_пр, шар находится в покое, а приQ= Q_пр начинается качение. Величина, входящая в выражение (2) носит название коэффициента трения качения.

Таким образом, коэффициент трения качения это плечо пары сил, создающих момент трения качения. Измеряется он, следовательно, в единицах длины.

Значение его зависит от материала тела и соприкасающейся с ним поверхности. Как правило, значениесопоставимо с размером шероховатостей тела и поверхности (от единиц до сотен микрон). Для большинства материалов отношениезначительно меньше коэффициента трения скольжения, поэтому в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Для исследования трения качения в данной работе используется наклонный маятник (рис.2). Шарик массой mподвешен на нити длинойl. Он давит на наклонную плоскость 2, угол наклонакоторой можно изменять. Если вывести шарик из положения равновесия, он будет катиться по плоскости и его движение примет характер затухающих под действием сил внешнего трения колебаний.

Сила реакции опоры в этом случае будет равна

, (3)

где - угол наклона плоскости, по которой движется шар, к вертикали.

Измерение коэффициента трения качения с помощью наклонного маятника основано на анализе затухания колебаний со временем. Формулу для расчета коэффициента трения качения можно получить если приравнять потерю энергии за период колебаний маятника работе сил трения за этот период. Будем отсчитывать потенциальную энергию шарика от нижней точки. Тогда полная энергия в верхних точках движения равна потенциальной, и при=0находится из формулы

, (4)

или

. (4а)

где  - угол отклонения от положения равновесия шарика.

Если мал, тоsin и (4) примет вид:

. (5)

За nпериодов колебаний маятника максимальное отклонение шарика сместится из точкиО в точкуO’. При этом маятник теряет энергию, равную работе сил сопротивления на пройденном шариком путиS(h– изменение положения центра тяжести шарика (рис.3)).

, (6)

где - работа сил трения;- работа по преодолению сопротивления среды.

Пренебрегая ввиду ее малости, имеем:

. (7)

Если за один полупериод максимальное отклонение шарика уменьшается на d, то изменение энергии за это время будет равно

. (8)

Путь, пройденный шариком за это время равен . Тогда. Откуда

, (9)

или

. (9а)

Таким образом, в конце первого полупериода отклонение от положения равновесия составит:

. (10)

Аналогично этому выражению можно записать формулу для отклонения от положения равновесия в конце n– го полупериода:

. (11)

Из геометрических соображений (рис.2 и 3) следует, что при отличном от нуля :. Тогда изменение амплитудного значения угла отклонения за один полупериод будет равно

. (12)

Выражение для _n примет вид:

. (13)

Зависимость (13) показывает, что затухание колебаний прямо пропорционально номеру полупериода.

Очевидно, что в этом случае колебания полностью затухнут при некотором ().

Таким образом, определяя n_k, можно определить силу трения и коэффициент трения качения

. (14)

С другой стороны

.

Тогда

, (15)

где_о –угол, измеренный в радианах.

Рис.4