Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим абсолютно твердое тело, имеющее закрепленную ось вращения. Его положение относительно данной системы отсчета определяется углом φ (рис.4). Пусть на тело в точке P действует сила . Разложим ее на три взаимно перпендикулярные составляющие:, параллельную оси;F_n, перпендикулярную оси и лежащую на линии, пересекающей ось; F_τ, касательную к окружности, описываемой точкой Р приложения силы.

Очевидно, что тоько составляющая F_τ способна изменять скорость тела.

Определим работу, совершаемую силойпри повороте тела на уголφ. При повороте тела на угол dφ точка приложения силы изменит свое положение на длину дуги dS. Элементарная работа на этом пути , гдеF_τ – абсолютное значение составляющей . Так както. При повороте тела на уголφ работа равна

. (8)

Для одной и той же по абсолютному значению силы F_τ, совершенная ею работа будет изменяться пропорционально расстоянию ее точки приложения от оси вращения. В частности, когда точка приложения силы лежит на оси вращения, то r=0 и А=0. Все это приводит к выводу, что для тела, имеющего неподвижную ось, мерой внешнего воздействия, изменяющего его угловую скорость, является произведение тангенциальной составляющей силы на расстояние ее точки приложения от оси вращения, т.е. .

Величину, равную этому произведению, называют моментом силы относительно оси вращения:

. (9)

Тогда формулу (8) можно записать так:

. (10)

Момент силы относительно оси вращения – величина скалярная, поэтому моменты внешних сил, действующие на тело относительно его оси вращения, складываются алгебраически. При этом положительный знак имеют моменты сил, под действием которых тело поворачивается в направлении, отвечающему условному направлению отсчета угла поворота φ.

Одной из важных характеристик движения тела является его кинетическая энергия. При вращательном движении она определяется следующим образом. Твердое тело мысленно разбивают на n весьма малых элементов так, чтобы для каждого элемента расстояния всех его точек до оси вращения можно было считать одинаковыми. Кинетическая энергия отдельного такого элемента массы m_i равна . Кинетическая энергия тела, очевидно, равна сумме кинетических энергий всехn элементов, образующих данное тело:

. (11)

Обозначив расстояние i-го элемента тела от оси вращения через r_i, запишем . Заменив в выражении (11) линейные скорости элементов тела на одинаковую для всех них угловую скоростьω, получим

. (12)

Итак, при вращении тела с постоянной угловой скоростью кинетическая энергия его отдельных элементов (частиц) зависит не только от их массы, но и от квадрата расстояния данного элемента от оси вращения тела.

Величину называют моментом инерции материальной точки относительно выбранной оси вращения.

Сумму называют моментом инерции тела относительно выбранной оси вращения и обозначают буквойI:

. (13)

Тогда формулу (12) можно записать так:

. (14)

Сравнивая эту формулу с формулой кинетической энергии тела, движущегося поступательно, нетрудно видеть, что момент инерции тела относительно его оси вращения играет роль массы, а угловая скорость – роль линейной скорости.

Инерционные свойства тела при вращении характеризуются не только массой тела, но и распределением масс его частиц относительно оси вращения, то есть моментом инерции. Подобно тому, как всякое тело обладает массой, оно обладает и моментом инерции, имеющим определенное значение относительно любой оси, независимо от того, вращается ли тело вокруг нее или покоится. Очевидно, абсолютное значение момента инерции тела зависит от положения оси, относительно которой он определяется. В частности, момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, имеет наименьшее значение.

Из формулы (14) следует, что вычисление момента инерции твердого тела в общем случае сводится к предельному суммированию, то есть к вычислению определенного интеграла, что не всегда просто для реализации. Поэтому момент инерции твердого тела определяют экспериментально на основе различных методов. Некоторые из этих методов будут рассмотрены в данной работе и в других работах данного практикума.

Иногда (особенно в случае тел правильной геометрической формы) момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, бывает известен. Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси, параллельной данной, пользуются теоремой Штейнера-Гюйгенса: если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, то для определения момента инерции тела относительно любой оси, параллельной ей, к нему нужно прибавить произведение массы тела на квадрат расстояния а между осями. Математически это выражается следующей формулой:

. (15)