I уровень
1.1. Вычислите односторонние пределы функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.2.
Определите, сколько вертикальных
асимптот имеет график функции
найдите их:
1)
2)
3)
4)
1.3. Найдите асимптоты кривых:
1)
2)
3)
4)
II уровень
2.1. С помощью односторонних пределов определите, имеет ли функция предел в точке. В случае существования вычислите его:
1)
2)
3)
4)
2.2. Среди данных функций выберите те, которые имеют вертикальные асимптоты (ответ подтвердите доказательством):
1)
2)
3)
4)
2.3. Найдите асимптоты кривых:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.4.
Докажите, что заданные прямые являются
асимптотами графика функции
1)
для функции
2)
для функции
3)
для функции
III уровень
3.1. Вычислите односторонние пределы функции в точке:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.2.
Вычислите односторонние пределы функции
в точке
1)
2)
3)
3.3. Определите асимптоты графика функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
16.5. Непрерывность функции. Классификация
точек разрыва
Функция f(x)
называется непрерывной
в точке
если она определена в этой точке и
некоторой ее окрестности и если
выполняется условие
(16.27)
Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого
промежутка, то говорят, что функция
непрерывна на этом промежутке.
Существуют и другие определения непрерывности функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке:
(16.28)
Непрерывность функции в точке определяется также на основе односторонних пределов.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
если она определена в этой точке и
некоторой ее окрестности и если существуют
односторонние пределы (конечные) такие,
что
(16.29)
Свойства непрерывных функций
1. Если функции
f(x)
и g(x)
непрерывны в точке х0,
то их сумма
также есть непрерывная функция в точкех0.
Это свойство справедливо для любого
конечного количества слагаемых.
2. Произведение конечного количества непрерывных функций есть функция непрерывная.
3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
4. Если функция
f(x)
непрерывна в точке х0
и
то значения функцииf(x)
в некоторой окрестности точки х0
имеют тот же знак, что и функция
5.
Если функция
непрерывна в точкех0
и принимает в этой точке значение
а функцияf(u)
непрерывна в точке
то сложная функция
в точкех0
непрерывна.
6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
7. Если непрерывная
на некотором отрезке функция f(x)
принимает на его концах значения разных
знаков, то на этом отрезке найдется хотя
бы одна точка, в которой функция
8. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, то операции вычисления предела в этой точке и функции f переставимы, т. е.
(16.30)
На свойстве 8 (равенство (16.30)) и было основано непосредственное вычисление предела функции в случае отсутствия неопределенности (см. § 16.1–16.4).
Если нарушается хотя бы одно условие, указанное в определении непрерывности, то точка х0 называется точкой разрыва функции.
Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того, какое условие последнего определения непрерывности, в том числе равенства (16.29), нарушено.
Точки разрыва I рода
1. Если существуют односторонние пределы в точке х0 (конечные) и
то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.
2. Если существует односторонние пределы в точке х0 (конечные) и
(16.31)
то х0 – точка разрыва, который называется скачок.
В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить в точке х0 значением функции f(x) и она станет непрерывной. В случае скачка это сделать невозможно.
Точки разрыва II рода
1. Если
или
тох0
– точка разрыва, который называется
бесконечный
скачок.
В этом случае прямая
является вертикальной асимптотой.
2. Если односторонние пределы в точке х0 не существуют (не определены), то х0 – точка неопределенности.
Для того чтобы исследовать функцию на непрерывность, необходимо ответить на вопросы:
1) где функция непрерывна;
2) какие точки являются точками разрыва;
3) какой характер разрыва в этих точках?
Пример 1. Пользуясь
определением непрерывности доказать,
что функция
непрерывна всюду наR.
Решение. Докажем
непрерывность этой функции в произвольной
точке
.
Пусть
– приращение аргумента в точкех0.
Соответствующее приращение функции
имеет вид:
Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Получили, что
что и означает непрерывность функции
на всей числовой прямой, так какх0
– произвольная действительная точка.
Пример 2.
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер. Построить
схематически график функции в окрестности
точек разрыва:
1)
2)
Решение.
1) Функция
определена на всей числовой прямой,
кромех
= 4. Данная
функция является элементарной,
следовательно, она является непрерывной
в каждой точке своей области определения.
Поэтому единственной точкой разрыва
является точка х
= 4, в которой функция не определена.
Для определения типа разрыва в этой
точке вычислим односторонние пределы
функции:
Приходим к выводу,
что
– точка разрываII
рода (бесконечного скачка).
График функции
в окрестности точки
представлен на рис. 16.1.
2) Точкой разрыва
данной функции является точка
Вычислим односторонние пределы заданной
функции в точке
Рис. 16.1
Получили, что оба
односторонних предела существуют (и
конечны), но не равны между собой. Поэтому
– точка разрываI
рода (скачка) – рис. 16.2. Заметим, что
скачок равен:
Рис. 16.2
Пример 3. Дана
функция
Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график.
Решение.
На промежутках
заданы аналитические выражения
элементарных функций, которые определены
и, следовательно, непрерывны на каждом
промежутке. Поэтому точками, «подозрительными
на разрыв», являются точки
и
Вычислим односторонние
пределы функции в точке
Так как функция
при
то
Так как функция
при
то
Вычислим значение
функции в точке
Таким образом,
условия непрерывности функции в точке
–1 выполнены. Поэтому в точке
разрыва нет.
Вычислим односторонние
пределы функции в точке
Так как функция
при
то
Так как функция
при
то
Получили, что
– точка разрываI
рода (скачка). Значит, функция непрерывна
всюду на числовой прямой кроме точки
(рис. 16.3), в которой она имеет скачок,
равный 1.
Рис. 16.3
Пример 4. Дана
функция
Определить, при каком значении параметра а функция является непрерывной.
Решение. Данная
функция определена на всей числовой
прямой. Область определения разбивается
точкой
на два промежутка:
и
На каждом из них задана элементарная
функция
и
соответственно. Для непрерывности
заданной функцииf(x)
на
необходимо наличие непрерывности в
точке
т. е. должно выполняться равенство
Вычислим односторонние
пределы функции в точке
Найдем значение
функции в точке
Следовательно,
должно выполняться равенство
Из него получаем
При
функция примет вид:
и будет непрерывной на всей числовой прямой.
Пример 5. Используя
свойства непрерывных функций, доказать,
что уравнение
имеет хотя бы один корень в промежутке
Решение.
Рассмотрим
функцию
Она непрерывна на отрезке
как сумма элементарных функций. Вычислим
значения функции на концах отрезка:
Получаем, что
функция на концах отрезка принимает
значения разных знаков, потому существует
точка
в которой функция обращается в нуль,
т. е.
Другими словами,
точка х будет
являться корнем уравнения
Пример 6. Решить
неравенство
Решение. Решим это неравенство, используя свойства непрерывных функций. Заданное неравенство равносильно следующему:
Функция
определена и непрерывна на промежутке
Найдем точку, в которой эта функция
обращается в нуль. Для этого решим
уравнение
Получим
два решения
и
В точках
и
функция определена, непрерывна и
выполняется равенство
Поэтому на каждом из промежутков
(1; 6), (6; 15) функция сохраняет свой
знак. Чтобы определить этот знак,
достаточно вычислить значение функции
в какой-либо одной точке для каждого
промежутка.
Пусть
На этой полуоси выберем точку
и вычислим значение функции:
Полученное значение положительно и не удовлетворяет условию (по условию: меньше нуля).
Пусть
Вычислимf(0):
Следовательно, на
промежутке (– 1; 6) функция принимает
отрицательные значения. Пусть теперь
Выберем
и вычисляем:
На промежутке
(6; 15) функция также отрицательна.
Поэтому решением данного неравенства
является
Задания