I уровень

1.1. Докажите, что функции иявляются эквивалентными бесконечно малыми при

1) 2)

3) 4)

1.2. Вычислите предел функции, заменяя бесконечно малые эквивалентными:

1) 2)

3) 4);

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

II уровень

2.1. Вычислите предел функции, используя эквивалентность бесконечно малых:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

2.2. Вычислите предел функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

III уровень

3.1. Вычислите предел функции с помощью таблицы эквивалентности бесконечно малых двумя способами (производя замену переменной и без замены переменной):

1) 2)

3) 4)

3.2. Вычислите предел функции несколькими способами:

1)

2)

3.3. Вычислите предел функции:

1) 2)

3) 4)

16.4. Односторонние пределы. Асимптоты

графика функции

Левой (правой) полуокрестностью точки х₀ называется произвольный интервал гдеслева (справа).

Число А называется пределом слева (справа) функции f(x) в точке х₀, если функция f(x) определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и если для любогосуществуеттакое, что для всехx, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

В этом случае пишут:

Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Если то односторонние пределы обозначают

Функция f(x) имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют оба односторонних предела, равных между собой.

В этом случае их общее значение является пределом функции f(x) в точке

Асимптота графика функции – это прямая линия, к которой неограниченно приближается график данной функции, когда его точка неограниченно удаляется от начала координат.

Различают горизонтальную, вертикальную и наклонную асимптоты.

Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции еслиили

В случае вертикальной асимптоты функция является бесконечно большой в точке

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции если

Вертикальные асимптоты могут существовать у функций, которые определены не на всей числовой прямой, т. е. имеют разрыв второго рода.

Если областью определения функции является вся числовая прямая, то у функции нет вертикальных асимптот.

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции приесли

Для нахождения коэффициентов k и b применяют следующие формулы:

(16.25)

(16.26)

Если хотя бы один из пределов (16.25), (16.26) равен или не существует, то у функции наклонных асимптот нет.

Если то прямаяявляется горизонтальной асимптотой. Заметим, что наклонных асимптот у функции может быть не больше двух, а вертикальных может быть сколько угодно.

Пример 1. Найти односторонние пределы функции f(x) в точке х₀:

1) 2)

Решение. 1) Вычислим пределы функции в точке слева и справа, т. е.и

Если тозначитПолучаем

Если тозначитПолучаем

2) При функция задана формулойПоэтому

При функция задана формулойт. е.

Значит

Пример 2. С помощью односторонних пределов показать, что функция не имеет предела в точке

Решение. При имееми функция принимает вид:

Поэтому

При имееми функцию

Поэтому

Получим, что оба односторонних предела функции в точке существуют, однако они различны, поэтомуне существует.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции:

1) 2)

Решение. 1) Вертикальных асимптот данная функция не имеет, потому что она определена для любых Для того чтобы найти горизонтальные асимптоты, надо рассмотреть пределы функции на бесконечности:

Получили, что – горизонтальная асимптота (ось0x).

Будем искать наклонные асимптоты в виде функции

Согласно формулам (16.25) и (16.26), вычисляем:

Так как значит наклонных асимптот у графика нет.

2) Так как при функция не определена, рассмотрим

и

Вычисляем:

Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем горизонтальную асимптоту.

Вычисляем

это означает, что горизонтальных асимптот нет.

Выясним наличие наклонных асимптот. По формулам (16.25) и (16.26) находим:

Приходим к выводу, что – наклонная асимптота.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции:

1) 2)

Решение. 1) Областью определения D(y) функции является то множество, на котором выполняется неравенство Решив последнее неравенство, получим что

Определим вертикальные асимптоты графика функции. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки Функция определена только в левой полуокрестности этой точки, поэтому вычисляем левосторонний предел:

В окрестности точки функция определена только справа, поэтому в этой точке можем рассмотреть правосторонний предел:

.

Приходим к заключению, что прямые иявляютсявертикальными асимптотами графика функции. Горизонтальных асимп­тот нет, так как

Найдем наклонные асимптоты:

Таким образом, – наклонная асимптота.

2) Функция определена всюду на числовой прямой, кроме точки т. е.Рассмотрим

Прямая – вертикальная асимптота.

Найдем горизонтальные асимптоты:

Получаем, что прямая является горизонтальной асимптотой приа прямая– горизонтальная асимптота при

Ищем наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот нет.

Задания