I уровень

1.1. Определите, имеет ли функция предел приесли:

1) 2)3)

4) 5)6)

1.2. Постройте график какой-либо функции, если известно, что:

1) ее предел при равен 1;

2) она не имеет предела при ;

3) ее предел при равен 1, а приравен – 2.

1.3. Вычислите предел функции в точке:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

13) 14)

1.4. Вычислите предел функции на бесконечности:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

II уровень

2.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши, докажите, что:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.2. Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что функция является бесконечно малой в окрестности точких₀:

1) 2)

2.3. Вычислите предел функции в точке:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

2.4. Вычислите предел функции на бесконечности:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13)

14)

III уровень

3.1. Верно ли, что:

1) если f(x) – четная функция и существует то существует?

2) если f(x) – нечетная функция и существует то существует?

3) если f(x) – нечетная функция и существует то существует?

3.2. Вычислите предел:

1) 2)

3.3. Вычислите иесли

3.4. Вычислите гдеа – предел числовой последовательности, заданной формулой общего члена .

3.5. Вычислите предел:

1) 2)

3) 4)

5)

16.2. Замечательные пределы

При вычислении пределов в случае неопределенностей часто используют специальные формулы, которые называются замечательными пределами.

Первый замечательный предел

(16.7)

Как следствие формулы (16.7), справедливы формулы:

Второй замечательный предел

(16.8)

(16.9)

в частности,

(16.10)

в частности,

(16.11)

Указанные формулы (16.7) – (16.11) замечательных пределов обобщаются на любую функцию u(x), стоящую вместо независимой переменной х при условии, что если(или) во всех формулах, кроме (16.8), в которых

Обобщенная таблица замечательных пределов

(16.12)

(16.13)

(16.14)

(16.15)

При использовании обобщенных формул на практике вместо под знаком предела пишут указанное в условии: .

Все приведенные формулы обобщенной таблицы замечательных пределов (кроме формул (16.12)) раскрывают неопределенность вида . Формулы (16.12) раскрывают неопределенность вида.

Пример 1. Вычислить предел функций в точке:

1) 2)3)

Решение. 1) При непосредственной подстановке в функцию значения получаем неопределенность видадля раскрытия которой воспользуемся первым замечательным пределом:

2) При получаем неопределенность видадля раскрытия которой сначала применим формулы тригонометрии, а затем первый замечательный предел:

3) Преобразуем вначале разность косинусов в произведение, а затем используем первый замечательный предел:

Пример 2. Вычислить предел функции, используя соответствующий замечательный предел:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Воспользуемся первой формулой из (16.12):

В данном случае иеслизначит

2) Непосредственная подстановка в функцию значения х = 0 дает неопределенность вида 1^ для раскрытия которой воспользуемся второй формулой из (16.12). Для этого преобразуем выражение под знаком предела:

3) При получаем неопределенность видадля раскрытия которой сначала упростим выражение, а затем применим формулы (16.7), (16.13), (16.15):

4) Имеем неопределенность вида 1^. Сделаем замену переменной. Пусть тогдаПриновая переменнаяПри этом

а

Подставив полученные выражения в формулу, получим:

Заметим, что этот пример также можно было решать без замены переменной.

Задания