I уровень
1.1. Вычислите предел функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
1.2. Вычислите предел функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
II уровень
2.1. Вычислите предел функции, используя замечательные пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.2. Вычислите пределы функций, сделав соответствующую замену переменной:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
III уровень
3.1. Вычислите предел функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.2. Вычислите предел функции, предварительно преобразовав выражение:
1)
2)
3)
16.3. Эквивалентность бесконечно малых функций
Две функции
и
называются эквивалентными бесконечно
малыми, при
,
если
,
это записывают
так:
при
.
При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:
Теорема.
Если h(x),
f(x)
и g(x)
– некоторые функции, определенные в
окрестности точки
(на числовой полуоси) и
при
,
то
(16.16)
Формула (16.16) показывает, что в произведении можно заменять функцию-сомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Пусть
,
если
.
Тогда справедливы следующие эквивалентности:
(16.17)
(16.18)
(16.19)
(16.20)
(16.21)
(16.22)
(16.23)
(16.24)
Пример 1. Вычислить предел функции в точке, заменяя бесконечно малые эквивалентными им:
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) Непосредственное
вычисление предела приводит к
неопределенности вида
.
Используем формулу (16.16), а также формулы
(16.22), (16.24), (16.17) таблицы эквивалентных
функций.
При этом выполняются
условия
если
которые являются обязательными для
перехода к эквивалентным функциям.
Тогда
Заметим, что решение примера с таким условием уже дано выше (см. 3-е условие примера 2 из параграфа 16.2).
2) При
подстановке
в выражения получаем неопределенность
вида
.
Чтобы от нее избавиться, воспользуемся
формулами (16.18), (16.23), (16.24) таблицы
эквивалентных бесконечно малых. Поскольку
то справедливы эквивалентности:
Подставив полученные эквивалентные функции вместо соответствующих бесконечно малых, получим:
3) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, и используем формулу (16.19):
Использование
формулы (16.19) было обосновано тем, что
если
4) Замечаем, что
непосредственное вычисление предела
приводит к неопределенности вида
Вместе с тем,
если
а поэтому можем использовать формулу
(16.20). Тогда
Пример 2.
Вычислить предел:
несколькими способами.
Решение.
1-й способ.
При
получим:
и
Следовательно,
имеем неопределенность вида
.
Сделаем замену переменной. Введем такоеt,
чтобы
если
Далее заменим бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные по формулам (16.21), (16.23), (16.22), (16.18).
Мы имеем право
сделать это, так как для соответствующей
функции u(t)
выполняется
если
Получаем:
2-й способ.
Поскольку
при непосредственном вычислении предела
имеем неопределенность вида
то необходимо преобразовать выражение,
стоящее под знаком предела. Однако сразу
использовать таблицу эквивалентности
бесконечно малых нельзя, поскольку
и
не стремятся к нулю, если
Используя свойство периодичности
тригонометрических функций, получаем:
Выражение под
знаком предела преобразовано таким
образом, что
и
если
Поэтому можно использовать формулы
эквивалентности (16.21), (16.23), (16.22), (16.18). В
результате получаем:
Пример 3. Вычислить предел функции, заменяя бесконечно малые эквивалентными,
Решение.
Непосредственное вычисление предела
приводит к неопределенности вида
Используем формулы (16.19) и (16.22) таблицы
эквивалентных функций.
При этом выполняется
условие
если
которое является обязательным для
перехода к эквивалентным функциям.
Тогда
Используя далее вторую формулу из (16.12), получаем:
Задания