I уровень

1.1. Разложите функцию f(z) в ряд Тейлора по степеням

1) 2)

3) 4)

5)

1.2.Найдите круг сходимости степенного ряда:

1) 2)

3) 4)

1.3.Найдите кольцо сходимости ряда Лорана:

1) 2)

II уровень

2.1.Разложите функциюf(z) в ряд Лорана в окрестности точки

1) 2)

3) 4)

2.2. Разложите функциюf(z) в ряд Лорана по степенямв кольцеD:

1)

2)

3)

4)

2.3.Определите круг сходимости заданного ряда и исследуйте его сходимость в точках

1)

2)

3)

III уровень

3.1.Разложите функциюf(z) в ряд Лорана по степенямво всех областях аналитичности:

1)

2)

3)

4)

3.2.Разложите в ряд Лорана функциюприи при

29.8. Нули и особые точки функции

Нулем аналитической в области D функции f(z)называется комплексное числотакое, что

Если есть нуль функцииf(z), тов разложении функцииf(z) в ряд Тейлора.

Точка aназываетсянулем кратности k (порядка k)функции f(z), если в разложении

(29.34)

выполняется Принуль функции называютпростым нулем.

В случае нуля кратности k разложение имеет вид:

т. е.(29.35)

где

Заметим, что точка является нулем кратностиk, если

(29.36)

Точка называетсяизолированным нулем функции f(z),если в областиDсуществует окрестность с центром в точкеa, которая не содержит других нулей этой функции.

Справедливо утверждение: нули аналитической в области Dфункцииf(z) изолированы, еслина множествеD.

Точка называется нулемкратности k функции f(z), если ее ряд Лорана, построенный в окрестности точкине имеет главной части, а для коэффициентов правильной части выполняются условия

(29.37)

При выполнении условий (29.37) ряд Лорана функции f(z) в окрестности точкиимеет вид:

(29.38)

где

Точка в которой функцияf(z) является аналитической, называетсяправильной точкой функции. Если функцияf(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точкии не аналитична в самой точке(или не определена в ней), тоназывается изолированнойособой точкой функции f(z).

Будем говорить, что функция f(z) являетсяаналитической в бесконечно удаленной точкеесли функциягдеявляется аналитической в точкеТочканазываетсяособой точкой функции f(z), если точкаявляется особой для функцииОсобая точкаявляетсяизолированной, если существует окрестностьтакая, которая не содержит других особых точек функцииf(z) (кроме).

Если выполняются условия:

ряд Лорана функции f(z) в окрестности точкиимеет вид

где причем

Особая точка a(изолированная особая точка) функцииf(z) называетсяустранимой, если ряд Лорана (29.32) этой функции в проколотой окрестности точкиaне содержит главной части.

Особая точка aфункцииf(z) является устранимой тогда и только тогда, когдаf(z) ограничена в проколотой окрестности точкиa.

Можно дать и такое определение устранимой особой точки: точка aназываетсяустранимой особой точкойфункцииf(z), если существует конечный предел

Особая точка aфункцииf(z) называетсяполюсом, если ряд Лорана этой функции в проколотой окрестности точкиaсодержитконечное числоэлементов главной части, т. е. имеет вид

где При этом точкаa называется полюсом k-го поряд­ка при полюс еще называют простым полюсом.

Особая точка aфункцииf(z) является полюсом тогда и только тогда, когда

Справедливо утверждение: если точка aявляется полюсомk-го порядка функцииf(z) (или нулем кратностиk), то для функцииточкаaявляется нулем кратностиk(соответственно полюсом порядкаk).

Если функция f(z) имеет вид

(29.39)

где s(z) – аналитическая функция ито точкаесть полюс порядкаkфункцииf(z).

Точка aназываетсясущественно особой точкойфункцииf(z), если ряд Лорана этой функции в проколотой окрестности точкиaсодержитбесконечное количествоненулевых элементов главной части. Можно дать и такое определение: точкаaназываетсясущественно особой точкойфункцииf(z), еслине существует.

Пусть функция f(z) разложена в ряд Лорана в окрестности точкит. е.

(29.40)

Бесконечно удаленная точка называется:

1) устранимой особой точкой функции f(z), если ее разложение (29.40) в ряд Лорана не содержит положительных степеней z;

2) полюсом порядка k, если разложение содержит конечное число элементов с положительными степенямиz, причем последним ненулевым коэффициентом является

3) существенно особой точкой, если это разложение содержит бесконечное число положительных степенейz.

Пример 1. Найти нули функции

Решение. Данная функция является многочленом седьмой степени. Нули этой функции являются корнями многочлена. Поскольку

то – нули данной функции.

Других нулей нет, так как нет других корней многочлена.

Пример 2. Определить порядок нуля функции:

1) 2)

Решение. 1) Используем разложения функций ив ряд Маклорена. Согласно формулам (29.29), получаем

Поскольку при функция, которая стоит в скобках, не равна нулю, то, согласно равенству (29.35), значениеесть нуль кратности два.

2) Используем другой способ исследования кратности нуля – проверим выполнение условий (29.36) в точке

Учитывая то, что

приходим к заключению, что есть нуль кратности четыре.

Пример 3. Выяснить, является ли точка нулем функциии какой кратности (если это нуль).

Решение. Преобразуем выражение, которым определяется функция, к виду

Для окрестности бесконечно удаленной точки имеемПоэтому, используя формулу суммы геометрического ряда, получаем

Сопоставляя полученное равенство с формулой (29.38), приходим к заключению, что есть нуль данной функции кратности два.

Пример 4. Найти особые точки функции и определить их тип:

1) 2)3)

Решение. 1) Очевидно, что для особыми точками функции являются нули знаменателя. Поскольку числитель не равен нулю приито значения 0, – 1 есть соответственно полюс кратности два и простой полюс. Точку надо исследовать отдельно. Для этого вычислим следующий предел:

(убедиться в том, что последний предел равнен 1, можно, например, разложив в ряд Тейлора по степеням (z – 1)). Получив предел приходим к заключению, что– устранимая особая точка.

2) Видно, что особой точкой функции является точка в которой знаменатель принимает нулевое значение. Однако числитель дроби тоже равен нулю дляа поэтому сразу определить тип особой точки мы не можем. Для его определения разложим функцииив ряд Маклорена. Получим

Поскольку степенные ряды, которые стоят в числителе и знаменателе последней дроби, представляют аналитические и отличные от нуля функции в окрестности точки то данная функция может быть записана в виде

где s(z) – аналитическая функция, В соответствии с формулой (29.39) приходим к заключению, что точкаесть полюс 3-го порядка.

3) Рассмотрим функцию которая является знаменателем данной дроби. Найдем ее нули:

–то самое, что т. е. Поэтому нули этой функции есть Определим кратность полученных нулей. Посколькуто все точкиz_n – простые нули. Тогда для данной функции эти точки есть простые полюсы, причем их бесконечно много (на координатной плоскости они размещаются на двух биссектрисах координатных углов).

Пример 5. Найти особые точки функции и выяснить их тип.

Решение. Очевидно, что функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме точки Выясним тип особой точки, разложив данную функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Для этого воспользуемся формулой (29.29) для представления экспоненты рядом Маклорена. Получим

Ряд содержит бесконечное количество слагаемых в главной части, т. е. – существенно особая точка функции.

Задания