Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 5 / 29. Теория функций комплексной переменной.doc
Скачиваний:
96
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
5.97 Mб
Скачать

I уровень

1.1.Найдите вычеты функцииf(z) во всех особых точках:

1) 2)

3) 4)

5)

1.2.Вычислите

1)

2)

3)

4)

5)

II уровень

2.1.Найдите вычеты функцииf(z) во всех особых точках:

1) 2)3)

4) 5)

2.2.Вычислите интеграл

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2.3.Вычислите интеграл

1) 2)

3) 4)

III уровень

3.1.Докажите, что для функцииточкаявляется устранимой особой точкой и что

3.2.Вычислите интеграл

где

3.3.Найдите вычеты функциив точкахи

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

23. Линейные пространства и линейные операторы. . . . . .

5

23.1. Линейное пространство, определение и примеры. . . . .

5

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

23.2. Евклидово пространство, определение и примеры. . .

12

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

23.3. Линейные операторы. Матрица линейного

оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

23.4. Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

23.5. Квадратичные формы, приведение уравнения

кривой и поверхности 2-го порядка

к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

24. Двойные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

24.1. Понятие двойного интеграла, его свойства

и вычисление в декартовой системе координат . . . .

41

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

24.2. Вычисление двойных интегралов в полярной

системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

24.3. Геометрические и физические приложения

двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

25. Тройные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

25.1. Понятие тройного интеграла, его свойства

и вычисление в декартовой системе координат . . . . .

72

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

25.2. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической

и сферической системах координат . . . . . . . . . . . . . .

78

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

25.3. Геометрические и физические приложения

тройных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

26. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

26.1. Понятие криволинейного интеграла 1-го рода,

его свойства и вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

26.2. Понятие криволинейного интеграла 2-го рода,

его свойства и вычисление. Формула Грина . . . . . . .

107

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

26.3. Геометрические и физические приложения

криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

26.4. Независимость криволинейных интегралов

2-го рода от пути интегрирования . . . . . . . . . . . . . . .

122

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

27. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. . .

127

27.1. Поверхностный интеграл 1-го рода . . . . . . . . . . . . . .

127

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

27.2. Поверхностный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . .

136

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

27.3. Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

28. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

28.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды . . . . . . .

156

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

28.2. Знакопеременные числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . .

170

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

28.3. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

28.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

28.5. Ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

28.6. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

29. Теория функций комплексной переменной. . . . . . . . . .

216

29.1. Основные понятия теории функций

комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

29.2. Функция комплексной переменной, ее предел

и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

223

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

29.3. Дифференцирование функций комплексной

Переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

29.4. Однозначные элементарные функции . . . . . . . . . . . .

243

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

29.5. Многозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

29.6. Интегрирование ФКП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

29.7. Ряды на комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

29.8. Нули и особые точки функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292

29.9. Вычеты и их приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

Учебное издание